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宇宙学还可以这么学之基础篇第2回 精选

已有 6003 次阅读 2015-5-15 14:34 |个人分类:宇宙学还可以这么学之基础篇|系统分类:科普集锦| 引力, 基础, 宇宙学还可以这么学

【由度规引发的问题】 

司马弦:“小雨,怎么了,上课第一天,看上去情绪不高嘛?”

张小雨:“别提了,今天老师讲了度规,黑板上写了一堆公式,我还没完全消化理解呢。”

司马弦:“研究生的课程感觉不太一样吧。很多时候,老师没有时间在课堂上仔细推导公式,一是因为知识内容确实比较多,二是由于计算量大,甚至有的公式是前辈们花了几个月才得到的结果。因此,对初学者来说,你可以试试我的办法:简单的公式一定仔细推导,花功夫掌握,复杂的公式大致了解一下推导过程,掌握其物理含义就可以了。”

张小雨:“哦,原来师兄你还藏了一手,但不知道你的方法灵不灵,等我试了之后再告诉你。”张小雨做了个鬼脸道:“师兄,你能讲讲度规究竟是一个什么量吗?”

司马弦:“好,那就给你讲讲吧。下面是师兄的走秀时间(Show time)”

司马弦:“度规,简单的说就是定义了一个距离。比如,北京到上海的距离大概是1300公里,就是一个空间上的距离。回想一下,我们是如何定义这个距离的呢?你会说,这还不简单,两点坐标差的平方和,再开根号不就是了吗。恭喜你,答对了,就是这么简单。那么,如果是球面上的两点该怎么算?”

张小雨插嘴到:“那就用球坐标来算,对吧?”

司马弦:“对。其实,数学家可以任意空间上定义不同的距离。在广义相对论中,由于时间处和空间具有相同的地位,因此,我们需要在时空(时间和空间)中定义一种距离,这就是你经常能看到的度规了。在宇宙学中,最常用的就是四维的Friedmann -Robertson-Walker(FRW)度规了。”

<公式:Friedmann-Robertson-Walker 度规,球坐标>

$ds^{2}=-dt^{2}+a^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right)$

张小雨:“为什么是四维的呢?难道有更高的维吗?”

司马弦:“想的还挺多,不过你的确问了一个很好的问题。我们常说宇宙是由三维空间和一维时间所组成的四维时空,但是谁也不敢肯定有没有更高的维度。这其实是大家一直在讨论和苦苦追寻解答的问题。纵观天下之文献,大家对于高维问题的讨论主要集中在两个方面,一是我们为什么需要一个高维的时空,二是如果真的存在更高维的空间,如何才能证实它的存在。当真正需要从理论上构造一个自洽的高维时空模型时,那可真是百家争鸣,各有各的道理,各有各的神通。”

张小雨:“那怎么才算是自洽的理论呢?”

司马弦:“呵呵,你怎么总是可以问道到关键之所在呢?如何才能号称你的理论是自洽的呢?竖起一杆大旗,上书‘替天行道’,看起来是行不通的,否则梁山好汉的结局也不会是这样。要想做到自洽,并被大家接受,你提出的理论至少要能够自圆其说吧,要能够解释实验观测所发现的结果吧,要能够做出一些观测预言来指导实验吧,但是,它绝对不能预言那些在现有实验条件下就可以发现,却没有发现的结果。难吧,纠结吧,这就是一个理论工作者的痛。可是,一旦你真的在恰当的时间,抓住了正确的规律,实现了成功的理论模型,那种感觉真是比中了彩票还开心。”

张小雨:“在那以前,我还是觉得中了彩票开心,哈哈哈……”

司马弦:“真是个小财迷,呵呵。如果即发现了成功的理论,又中了彩票,那就更开心了。”

张小雨:“还说我呢,师兄才是贪心的大财迷。”张小雨接着问道,“师兄,这个度规里的a和k又是什么意思呢?

司马弦:“刚才说了,度规定义了时空的距离,那么它自然应该反映出时空的性质,比如,整个时空是平坦的还是弯曲的,时空的各个局部所定义的距离有区别吗等等。还记得我们的宇宙有什么特点吗?”

张小雨:“在大尺度上,宇宙是均匀和各向同性的。”

司马弦:“对。年轻人记忆力就是好。”司马弦继续解释道,“FRW 度规就是这样一种能够反映均匀和各向同性的度规。因此,它特别适合用来描述宇宙的时空。你看,这里的a只是时间t的函数,它不依赖于空间坐标xyz,因此,不论你在哪里,在哪个方向上计算两点间的距离,结果都是一样的。换句话说,在地球上生产的尺子,在牛郎星、织女星上照样可以用。”

司马弦停下来,慢慢得咽了一口咖啡,继续说到:“度规中的k描述了三维空间的几何性质。这个三维的超曲面可以是平直的,球面的,也可能是伪球面的。我们把这三种情况分别称为平直宇宙,闭宇宙和开宇宙。注意哦,无论三维空间的几何如何,四维的宇宙总是不平坦的,而是一个弯曲的时空。”

【联络、测地线方程】

张小雨:“师兄,今天老师讲了一大堆术语,比如联络呀,曲率,测地线呀,我都不太明白。”小雨委屈得说,“我都还还没学过广义相对论呢。”

司马弦:“瞧你委屈的,呵呵,你没学过的东西还多着呢。怎么办呢,那就现学呗。老师曾说起过,他们那时正赶上超弦理论的快速发展时代,大家就是从每天的论文预印本(arXiv)中学习、研究,直到完成自己的研究工作。所以说,高效率地自学是每一个物理人应该不断修炼的内功。”司马弦笑了笑,“至于专业术语嘛,说白了就是行话,在‘江湖’中混,不懂几句黑话怎么行呢,哈哈哈……”

司马弦“好了,不开玩笑了,回到你的问题吧。联络,顾名思义,就是要形成联系。在四维时空中,物理量一般是定义在某个时空点的。比如,某个物体在时空p点处具有一个速度,它就是定义在p点的,行话叫定义在p点的切空间;这时,假设物体在q点也有一个速度,如果要计算这两个速度差怎么办?注意,速度是一个具有大小和方向的量,称为矢量。”

张小雨:“是不是做矢量减法,计算相对应的分量差就可以了?”

司马弦:“你说对了一半。在做矢量的运算之前,首先得把他们移动到一块,比如把p点的速度矢量平行移动到q点,然后再做矢量减法。在平坦时空中,平移一个矢量很简单,实在不行拿把尺平行移动就可以了。可是,在一般的弯曲时空中,就需要先做一番工作了,否则很有可能矢量之差不再是矢量喽。”

张小雨:“师兄的意思是说,联络就是用来定义如何来平移一个矢量的?”

司马弦:“你又说对了,看起来领悟力不错。联络就好比是一把尺,帮助我们平行移动矢量,移动的时候,要保证矢量的方向垂直于移动的方向。”司马弦继续道,“其实,不仅仅矢量如此,更一般的张量也是如此。自从有了联络,时空中的点才可以相互串门了。”

张小雨:“等等,师兄,张量是什么?”

司马弦:“张量就是……,晕……。”司马弦指着书上的一个巨复杂的式子说,“这不就是吗?不过,这个式子你看和不看都一样。我还是先举个例子吧:众所周知,速度是一个三维矢量,有方向,有大小,有三个分量。假设速度是依赖坐标的,那么速度在各个方向上的变化就需要九个分量来描述,即每个速度分量都有三个方向的变化(梯度)。数学上,我们就可以用一个张量来表示这九个分量。而且,如果参考系变了,它还能准确得计算出在新参考系中,速度的梯度值。实际上,根据坐标变换关系,你可以定义不同类型的张量,通常称它为几阶张量。比如矢量是1阶张量,速度的梯度是一个2阶张量。”

张小雨:“哦,听上去还挺复杂,那张量的平移也可以用联络来定义喽?”

司马弦:“是的,所以你会发现联络的本事还是很大的。”司马弦思索了一下,接着问道,“你应该知道牛顿第二定律吧?”

张小雨:“力=质量×加速度,地球人都知道。哈哈。”

司马弦:“牛顿第二定律告诉我们物体运动的变化是因为受到力的作用,比如,苹果落到脑袋上,是因为万有引力的作用。通过求解牛顿定律,我们就可以知道物体在空间中运动的轨迹了。在相对论中,由于时间和空间的地位是相同的,通过求解某个方程,我们就可以知道物体在时空中的运动轨迹。这个方程就是测地线方程,它的表述是:四维速度的变化律=—联络×四维速度的平方。”

<公式:测底线方程>

$\frac{dU^\alpha}{ds} = - \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} U^\beta U^\gamma \,, \quad U^\alpha = \frac{dx^\alpha}{ds}$

张小雨:“可是,为什么叫它测地线呢?测地线方程又该怎么理解呢?”

司马弦:“首先,在平面上两点之间的最短距离,就是连接这两点的直线,但是在球面上,最短的距离是就不再是‘直线’,而是经过这两点之间的大圆弧长,称为测地线。大圆,顾名思义就是最大的圆,这个圆的圆心就是球心。

司马弦:“测地线方程告诉我们,物体在弯曲时空中的运动轨迹,总是一条四维时空中的测地线。如果时空是平直的,联络的分量均为零,测地线方程就简化为:四维速度的变化率=0,在静止参考系中,它就等价于加速度=0。由此可见,在广义相对论中,物体之间的万有引力是由于时空弯曲造成的。”

张小雨:“似乎有点明白了,那曲率又是什么呢?”

司马弦:“这个说起来话就长了,你现在只要知道它表示时空的弯曲程度就行了。当年,爱因斯坦凭着‘直觉’,就把时空的曲率和时空中的物体的能量联系起来了。物体引起了时空的弯曲,而时空的弯曲又使得物体沿着测地线运动。”

司马弦接着说道:“万万没想到吧,相对论中的概念是简单而有力的,就看你想不想得到。当然,这其中的数学计算是有点麻烦的,不过好在计算机的发展非常迅猛,我们可以借助一些数学软件来帮助我们完成部分计算。”

张小雨:“这个很赞哦。师兄,你以后有空的时候教教我吧。”

司马弦:“一定一定。”

【再看尺度因子】

张小雨:“师兄,度规里的a为什么叫尺度因子呢?它有什么物理含义吗?”

司马弦:“尺度因子a太重要了,它随时间的变化过程就是宇宙的历史演化规律。在某一时刻,a的值反映了宇宙在那个时刻的尺度大小,它的相对变化率则反映了宇宙的膨胀或者收缩。通常,将a的相对变化率称为哈勃参数H,它在今天的数值,称为哈勃常数。如果哈勃参数H大于0,则宇宙处于膨胀状态,反之,就不用我说了吧。如果某时H=0,那宇宙在该时处于膨胀与收缩的转变时刻。”

<公式:哈勃参数(Hubble Parameter)>

$H(t) \equiv \frac{da/dt}{a} = \frac{\dot a}{a}$

张小雨:“那我们怎么才能知道a究竟是怎么依赖于时间变化呢?或者说a是时间t的什么函数呢?”

司马弦:“这就要求解爱因斯坦方程了。不过,因为度规里只有a这样一个时间的函数,爱因斯坦方程就会简化很多,最后得到的只是关于a的方程,我们称为Friedmann 方程。宇宙学基本上就是围绕这个方程展开的。以后再慢慢给你讲吧。”

【哈勃参数】

张小雨:“师兄,你刚才说哈勃参数反映了宇宙是膨胀还是收缩。那它的值是多大呢?我们又如何能测量到它的值呢?”

司马弦:“这是一个非常重要的问题,不过,在回答你之前,我先来八卦一下哈勃这个人吧,呵呵。”司马弦接着说道,“哈勃,男,职业天文学家,观测宇宙学的开创者,超级牛人,哈勃空间望远镜就是以他命名的。哈勃在1929年的时候发现了著名的哈勃定律。这个定律告诉我们,遥远的星系在离我们而去,而且越远的星系离开得越快,它们离开的速度几乎是和距离成正比的。这个速度称为退行速度,而哈勃定律的数学表示为:退行速度=哈勃常数×距离。以后你会知道如何从数学上推导出这个关系。不难想象,如果我们知道了星系的退行速度以及它们离我们的距离,那么根据哈勃定律,就可以得到哈勃常数的值了。”

张小雨:“但是,如何得到星系的退行速度和距离呢?”

司马弦:“先说说退行速度吧。实际上,观测中之间测量的并不是速度,而是光谱线的红移。这有点类似于多普勒效应。知道多普勒效应吧?”

张小雨:“好像记得老师曾经讲过,在站台上等火车的时候,进站的火车发出的声音会越来越尖锐,而出站的火车恰恰相反。对了,警察叔叔就是利用这个效应来测车速的,你可千万不要超速哦。”

司马弦:“呵呵,我可是很遵守交通规则的。不错,你说的对,这就是声波的多普勒效应。由于相对运动,声波的波长被拉长或者缩短了。宇宙中光的红移和多普勒效应有些类似,远处的星系离我们而去,从它那传播来的光的波长就被拉长了,或者说看上去光变得红了。但是,产生红移现象的真正原因却是宇宙在膨胀。”司马弦突然问到:“你知道红光的波长比蓝光长吧?”

张小雨得意得说:“嘿嘿,这个我知道,你看彩虹不就是这样排列的嘛。以前老师上课时,还做过三棱镜的实验,就看的更加清楚了。不过,你怎么知道你看到的光是变红的,而不是本来就红的呢?”

司马弦:“这就得靠光谱啦。一束来自远方的光,其实是由很多不同波长的单色光所组成的。我们把各种单色光的强度记录下来,就形成了一个光谱图:横坐标是波长,纵坐标是相对应的强度,即光强。实验还发现,不同的元素所能发射或者吸收的光就只有那么几类波长,在光谱中这些固定波长处所对应的光强会非常大或者非常小。这个性质,在地球上成立,在其它星系中也成立。可是,你会发现,在遥远星系的光谱中,这些非常大或者非常小的光强所对应的波长,整体得变大了,说明光被红移了。”

司马弦继续到,“再说说距离的测量吧。在天文观测中,距离的测量可不是一件容易的事。离我们近的,比如月球,人们可以用激光直接测量;远一点的恒星,利用视差,也能测量,但精度有限;更远一些,就得依靠标准烛光或者标准尺子了。在这里,你只要知道我们有办法测量距离就可以了,至于具体的方法以后再慢慢学吧。”

司马弦低头看了一下手机:“哎呦,到饭点了。好吧,饭前最后一个问题:哈勃常数的大小大概是:”

<公式:哈勃常数,来源:Planck卫星数据>

$H_0 = 67.4\pm1.4 \,\,\text{km/s/Mpc}$

司马弦:“这比哈勃最初测定的值 500 km/s/Mpc要小的多了。”

(未完待续……)



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