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清华笔记:计算共形几何讲义 (23)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)V 精选

已有 1909 次阅读 2019-11-15 11:44 |系统分类:科研笔记

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前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论,曲面上配备着欧氏度量带有奇异点。这次,我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论。对于欧拉示性数为负的曲面,其单值化度量自然是双曲度量。双曲度量具有非常多的优点,因此在工程实践中起到了非常根本的作用。

例如双曲度量下,每个曲线同伦类中存在唯一的测地线,两条封闭曲线同伦当且仅当它们可以同伦变换成同一条测地线,因此可以将拓扑问题转化成几何问题。再如,如果源曲面和目标曲面同胚,目标具有双曲度量,那么调和映照存在并且唯一,并且调和映照为微分同胚。这在曲面配准问题中,具有重要作用。

计算曲面双曲度量的最为简单方法就是双曲离散曲面的曲率流方法。

双曲背景几何

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图1. 多面体曲面。

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图2. 常曲率测地三角形。

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双曲离散曲面曲率流

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图3. 双曲三角形。

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图4. 广义双曲四面体。

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双曲离散曲率流的拓扑应用

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图5. 亏格为2的曲面上的双曲度量。

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图6. 最短词问题。

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图7. 将基本群基底同伦变换成测地线。

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 图8. 亏格为2的曲面的双曲度量,及其万有复迭空间的等距嵌入。

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双曲共形模

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图9. 亏格为3的曲面的共形模计算。

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总结

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Reference

  • M. Zhang, R. Guo, W. Zeng, F. Luo, S-T Yau and X. Gu, The unified discrete surface Ricci flow,Graphics Models Vol 76 (5), Pages  321-339, 2014.

  • X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces II, Journal of Differential Geometry, 2016

    (arXiv:1401.4594) 


原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年8月19日)



http://wap.sciencenet.cn/blog-2472277-1206270.html

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