共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在性证明，一般都遵循如下的方法：首先定义一个全纯函数的正规族，然后考察函数的Taylor（或者Laurent）级数展开，构造一个序列使得某一个系数取得极值，由正规族的紧性得到极值函数的存在性，再证明这个极值函数就是所要求得的共形映射。我们下面的证明就是采用这种手法。

图1. 黎曼映照（Riemann Mapping）。

图2. 莫比乌斯变换（Mobisu Transformation）。

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年7月17日）

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