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维克定理的简单推导

2021-10-28 17:04

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维克定理(Wick's theorem)是场论中非常重要的一个定理，不仅是微扰场论费曼图方法的基础，又在讨论非微扰场论中起重要的作用。场论中，维克定理用于计算场相互作用项的自由场期望值，我们知道，自由场论是一个高斯理论，因此，本文演示由高斯积分直接得到维克定理的方法。

让我们从标量出发。考虑随机变量 x,服从高斯分布，期望值为零: <x>=0 (因此x可认为是相对于期望的涨落)，方差: <x²>=σ².即：

$P(x)\, =\, \frac {1} {\sqrt {2\pi {\sigma }^{2}}}\, {e}^{-\frac {{x}^{2}} {2{\sigma }^{2}}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$

我们的目标是计算随机量的各阶平均值：<xⁿ>. 通用的方法是构造分布 P(x) 的生成函数(Generating function)：

$G(\lambda )\, =\, \int ^{\infty }_{-\infty } {dx\, P(x)\, {e}^{\lambda x}}\, =\, <{e}^{\lambda x}>\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

显然，如果取: λ=-ik, 则生成函数 G(λ) 就是 P(x) 的傅里叶变换。

一方面，将(2)在 λ=0 做泰勒展开：

$G(\lambda )\, =\, <{e}^{\lambda x}>\, =\sum ^{\infty }_{n=0} {\frac {{\lambda }^{n}} {n!}\, <{x}^{n}>\, }\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)$

故<xⁿ>由G(λ)的n-阶导数零点取值给出。

另一方面，由于P(x)是高斯分布，我们可以直接算出(2):

$G(\lambda )\, =\, <{e}^{\lambda x}>\, ={e}^{\frac {1} {2}<{x}^{2}>{\lambda }^{2}}=\sum ^{\infty }_{n=0} {\frac {{<{x}^{2}>}^{n}} {{2}^{n}n!}{\lambda }^{2n}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4)$

对比(3)和(4), 我们得到：

$<{x}^{2n+1}>\, =0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)$

$<{x}^{2n}>\, =\, \frac {(2n)!} {{2}^{n}n!}\, {<{x}^{2}>}^{n}\, =\, (2n-1)!!\, {<{x}^{2}>}^{n}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)$

式(6)就是标量情形下著名的维克定理，其中(2n-1)!!是参与平均的2n个随机变量x配对的方式数。

直接推广到矢量情形，维克定理写作：

$<{x}_{{n}_{1}}\cdot \cdot \cdot {x}_{{n}_{2p}}>\, =\, \sum _{all\, \, pairing} {<{x}_{{m}_{1}}{x}_{{m}_{2}}>\cdot \cdot \cdot <{x}_{{m}_{2p-1}}{x}_{{m}_{2p}}>}\, \, \, \, \, \, (7)$

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