苗兵
朗道相变理论简评 精选
2021-9-26 18:30
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在传统(非拓扑)平衡态相变理论中,为了经历相变,由对称的无序中产生非零序,系统需要经历自发对称破缺(Spontaneous Symmetry Breaking),即态(State)破缺体系哈密尔顿量(Hamiltonian)的对称性。对称破缺的理论处理是微妙的,如前所讨论,一般可以有两种做法:(1) 类似于希格斯机制(Higgs Mechanism)的引入无限小外场,再做热力学极限(Thermodynamic Limit);(2) 相空间遍历性破缺(Ergodicity Breaking)。


相变理论的一个非常有用的方法是平均场近似(Mean Field Approximation),在数学上对应于对配分函数的计算引入鞍点近似(Saddle Point Approximation)。从最早的范德瓦尔斯理论,到Weiss铁磁理论,超导的BCS理论等,在不同的方向上有不同平均场理论的面貌,而其集大成者是朗道的相变理论(Landau's Phase Transition Theory)。


朗道相变理论基于选好对应于相变序参量的态变量后朗道自由能(Landau Free Energy)的构建。对于统计体系,(a) 首先界定其粗粒化层次定义的态变量,所谓粗粒化,即给定一个态变量,有许多微观变量构型可以与其对应;(b) 对粗粒化的态变量给出一个能量,注意,由于一个粗粒化态变量对应于许多微观态构型,因此粗粒化态变量的能量实际上是一种在该尺度上定义的自由能,因为有由微观态简并(Degeneracy)所带来的熵贡献(Entropy)。该能量一般称为有效哈密尔顿量(Effective Hamiltonian),有效二字正体现了其粗粒化带来的熵贡献,或直接称为朗道自由能。


朗道自由能按照几个条件一般的写下。(1)解析性(Analyticity),将朗道自由能写成一个粗粒化态变量的有限次多项式,系数对应物理的耦合参数;(2)对称性(Symmetry),例如时间反演不变性存在时,要求朗道自由能是粗粒化态变量的偶函数;(3)物理上相变或序产生的要求(Physics),这界定了朗道自由能多项式写到几次,系数的正负及切换等。


在平衡态统计下,粗粒化态空间的分布测度由玻尔兹曼分布(Boltzmann Distribution)给出。态变量的平均值定义了相变的序参量(Order Parameter)。那么,显然,由于朗道自由能满足对称性,而玻尔兹曼分布由朗道自由能给出,那么在通过态空间平均求序参量时,对称性将一直被保持而不会破缺,这样就不会得到相变需要的对称破缺。例如,满足Z2对称性的伊辛普适类(Ising Universality Class),时间反演对称在此过程中不被破缺,序参量始终为零,不会得到相变。


朗道理论做了什么呢?其关键是通过平均场近似或者鞍点近似破缺了对称,得到了非零序标志的相变。具而言之,求平均是一个积分或泛函积分的操作,积分使得函数的性质变好,那么要从积分或平均得到非解析是指望很小的。然而积分的逆操作,求导或变分求导使得函数性质变的坏一点,那么通过求导有可能得到相变需要的非解析性。朗道正是这样做的。


在平均场近似下,热力学自由能或热力学势(Thermodynamic Potential)被近似为朗道自由能:


即:

这里φ*是鞍点构型,即:

我们知道,在零场下,热力学势对序参量的变分极小给出序参量满足的状态方程(Equation of State)或者欧拉方程(Euler's Equation),现在热力学势已被近似为朗道自由能,因此从(3)式由朗道自由能解出的鞍点构型就是平均场近似下的序参量。我们具体再来算一下序参量,即态平均:

(4)

可见,在平均场近似下,序参量没有去求态平均,而是近似为由朗道自由能变分计算得到的鞍点场构型。因为没有对粗粒化态变量,即场构型,在态空间求平均,因此就破坏了态空间的遍历性,遍历性破缺就可以导致对称破缺,产生序。


由于在改变耦合参数,例如作为朗道自由能二级项系数的约化温度时,朗道自由能的形状发生改变,其极小点或鞍点构型将变化,这就给出了产生不同序的可能。如在伊辛普适类里,朗道自由能是一个四次项偶函数,在高温时,其约化温度为正,则二次项和四次项有相同趋势,极小点由零给出,即无序态。降低温度,约化温度变负时,二次项和四次项有相反趋势,朗道自由能形状如墨西哥人的帽子,极小点由二者竞争得到的非零有限值给出,即有序态。


我们看到,朗道理论里,正是通过平均场近似,将求序参量的平均转换为求朗道自由能之变分最小,该操作破缺了态空间的遍历性,导致了统计体系的对称破缺,得到了非零序,即相变。

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