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向大自然学数学

已有 1337 次阅读 2020-11-12 00:02 |系统分类:科普集锦

      如果说向大自然学艺术,大家一定不会觉得新鲜,因为考察我们的美术和音乐等作品的原始版权,就会发现都是属于老天爷的,例如高山流水,飞禽走兽,鲜花翠柏,鸟鸣蝉噪。如果说要向大自然学数学,就会让人觉得故弄玄虚,因为表面上来看,我们从来没有在自然界中直接发现某个精致的数学公式,数学似乎是人类的自由创造,例如Kronecker有句名言:上帝仅创造了整数,其他都是人为的

这里所说的大自然中的数学,也不是指黄金分割比例,花瓣的对称分布,蜂房的密排结构,心形曲线的函数表示这些表面的数学,而是自然规律所展示的实质数学内容。我在书[1]中多次指出,大自然仅用了一些最简单但是最优美的数学,这并非故弄噱头。在书中10.1节我列出来几乎所有与物理有关的数学概念和定理,从271288页,总共还不到18page的内容,而且其中大部分定理的证明都很简单。我的书中的所有结论的证明也都很简单,很少超过一页的。

因为基本的自然规律都是定量化的,所涉及的核心数学基本上是可结合代数的加减乘除外加微积分运算。几何代数和算术最大的不同在于,其加减乘除运算是定义在向量空间上的。自然界选择几何代数作为基本的数学工具,其优越性就在于以下三点。首先,几何代数同构于一些特殊的矩阵代数,这使得有关计算变得简单明了,而且层次分明;其次,几何代数在某些的定义域上构成了可除代数,是复数和四元数的直接推广,这一特点与物理方程的可解性相关,因为物理方程的Fourier变换就是一个矩阵代数方程;再次,物理方程在整体上满足一个可叠加标量的变分原理,使得各种参量在幅度上是有限的和可控的。这些特点使得世界在本质上是简单的和可理解的,大自然的美妙和谐就是依赖于这些特点。 

虽然自然规律中用到的数学极其简单而优美,但对这些内容的抽象和拓展却是没有限量的。例如对勾股定理ds2=dxadxa的拓展,我们一方面可以建立弯曲时空的Riemann几何;另一方面可以用满足三角不等式的距离d(x,y)来定义更一般的度量空间;再推广度量空间的开集和连续性概念,就可以直接定义拓扑空间。由此可见,抽象数学还是植根于大自然的数学之中。通常的观点认为,越抽象的数学越能反映客观真理,其实这是一种错觉。因为抽象和真理是不同的概念,如果条件提得不合适,结论会离真理更远。描述粘性不可压缩流体的Navier-Stokes方程的性质很难分析,这与方程没有变分原理可能是有关的。由于流体微观粒子的运动极其复杂,推导这个方程时用的平均意义上的应力应变分析不一定有效。如果直接从微观粒子运动的Lagrangian出发,建立宏观意义上的Lagrangian,再推导出相应的动力学方程,分析起来就会方便很多,结论也更符合实际情况。

如果能够在中学和大学里推广几何代数,将会使学生用很短的时间掌握大量数学和物理的基础内容,至少节省三分之一的学习时间,而且即见树木也见森林。这就好比用缆车把游客直接送到了半山腰,至于接下来游客想攀登顶峰还是采摘果实,那就自便了。几何代数还是一个发展中的学科,推广还有一个如何组织教材的问题。[1]是一本研究著作,大部分都是我的研究成果汇编,需要本科生才能看懂。我看到的很多论文和著作,内容有点故作高深,也不适合做教材的,例如百度词条关于克利福德代数的定义[2]

这种定义涉及太多专业词汇,只有代数学家看得懂,这会把学生搞糊涂的。但实际上,几何代数只涉及向量空间中的长度、面积和体积等直观的几何概念,初中生都看得懂。其他内容都是这些量之间的加减乘除等简单运算,用不着上面这么复杂的概念的。

总之,几何代数是大自然的数学,是基础科学之树的主干和精髓,而其他很多内容只是枝叶、鲜花或果实。我不太赞同Kronecker上帝只创造整数的观点,我觉得应该是上帝创造了几何代数和微积分,这些才是最优美的数学。像很多民科最爱的哥德巴赫猜想之类的问题,则是人为的数学,很是偏难怪,应用也很少。所以,我们首先需要教给学生的,一是逻辑规则;一是大自然的数学,这些才是能让人眼睛变明亮,头脑变清晰的数学。

  

[1] Y. Q. Gu, Clifford Algebra and Unified Field Theory,

https://www.amazon.com/Clifford-Algebra-Unified-Field-Theory

[2] 百度词条,克利福德代数

https://baike.baidu.com/item/%E5%85%8B%E5%88%A9%E7%A6%8F%E5%BE%B7%E4%BB%A3%E6%95%B0/4270119?fr=aladdin

 




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