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人们探索大自然的奥秘的步伐不会停止，在了解到星-三角关系、杨-巴克斯特（Yang-Baxter）关系对求解二维伊辛模型的重要性之后，人们自然地将目光看向三维伊辛模型。杨-巴克斯特方程仅仅可以用来求解二维伊辛模型，人们需要用所谓的四面体方程，或者复合杨-巴克斯特方程来处理三维模型。这方面，前苏联的科学家做出杰出的贡献。通过查阅相关文献，大呆从心底里折服于前苏联科学家深厚的数理功底、不畏困难的探索精神、甘于做冷板凳的品格。二维伊辛模型已经是一个非常复杂的问题，前苏联科学家勇于向三维模型发起挑战，尽管没有完成精确求解三维伊辛模型的任务，但是他们在探索的过程中还是发现了一些规律性的东西。四面体方程就是他们智慧的结晶，对后人充分理解三维伊辛模型的数学结构有重要的启发价值。体会到四面体方程的复杂度以及其精妙之处，大呆不禁拍案惊奇。
什么是四面体方程，或者复合杨-巴克斯特方程？
四面体方程就是复合杨-巴克斯特方程。复合杨-巴克斯特方程就是将二维的杨-巴克斯特方程向三维推广。杨-巴克斯特方程对应着拓扑学中的III型Reidemeister移动，由三根线的不同摆放位置形成等价关系。而三维情况下，原来的每根线变成被一根线象糖葫芦一样穿起来的N条线，即形成复合的线，这些复合的线之间满足新的杨-巴克斯特方程。也就是说，N个杨-巴克斯特方程被三条线穿起来（复合），这即是复合杨-巴克斯特方程。这个复合杨-巴克斯特方程的图形可以被化简为由六条线构成的四面体图形，四面体方程就是表征两个四面体图形的等价关系。四面体方程也可以描述成一个菱形十二面体（四个嵌套着的六面体）与另外一个菱形十二面体的等价关系。
Zamolodchikov 引入四面体方程作为杨-巴克斯特方程的三维推广，找到一个特解。被权重函数满足的四面体方程扮演一个非常重要的角色，它类似于杨-巴克斯特方程，具有由权重函数构成的层与层转移矩阵的对易性。可以从作用在模型的局域统计权重上的四面体方程导出如转移矩阵的对易性那样的全局性质。这些局域的对称关系可以用来推导模型的全局性质，其原因是它可以关联晶格所有交叉点的局域统计权重，从而使四面体关系以及它的倒关系在晶格的所有地方均成立，且保持配分函数不变。
Stroganov总结了杨-巴克斯特方程的三维推广的结果，并讨论了简单立方晶格统计自旋模型的可积性条件（即四面体方程）。三维统计系统可以处理成一个具有复合权重的二维系统。其技巧是，沿第三个方向投影立方晶格导致一个带有有效Boltzmann权重的二次（平面）晶格。2个转移矩阵V和V'对易的充分条件是复合权重R12和R14满足杨-巴克斯特方程：
。然后，如果存在一个辅助的非简并矩阵
以至
，且M个辅助矩阵
和
的乘积的迹相等，系统将满足复合杨-巴克斯特方程。复合杨-巴克斯特方程，也就是所谓的四面体方程，可以写成：
。根据系统的对称性质可以有不同形式的四面体方程。
在前面一回，我们简单地介绍了如何利用杨-巴克斯特方程来确保二维伊辛模型转移矩阵的对易性（也就是物理系统的可积性）。我们可以用类似的方法，利用四面体方程来确保三维伊辛模型的对易性（可积性）。对于上、下两层平面晶格点上的转移矩阵A和B，我们需要在系统的下边和左边分别设立两个边界，在边界每个格点上分别增加一个转移矩阵C和D。边界附近，上、下层两个格点A和B与附近下边界和左边界的C和D一起构成四面体方程的左边CDAB，利用四面体方程，四面体方程的右边变成BADC。可见，利用四面体方程实现CD和AB调换位置，同时AB也调换次序，CD也调换次序。依次利用下边和左边两个边界上的转移矩阵C和D以及前一次四面体方程右边的D和C，重复利用四面体方程，可以将上、下两层所有格点上的转移矩阵A和B调换位置，同时逐步将C和D分别推移到体系的上边界和右边界。最后去掉添加的那两排边界上的转移矩阵C和D，体系的转移矩阵数目没有变化，唯一改变的是，上下两层的转移矩阵A和B的位置都发生了改变，上下对换了位置（顺序），也就是说，转移矩阵可以对易。四面体方程确保了三维体系的可对易性，也就是可积性。所以说，四面体方程对精确求解一个三维物理体系至关重要。
一个（菱形十二面体的）四面体的分解和重新排列可用来表明如何通过切断和熔合交叉来处理拓扑问题。满足四面体关系保证了三维伊辛模型转移矩阵的对易性和可积性。三维伊辛模型的配分函数可写成2个相邻层的立方体所有V函数的乘积为矩阵元素的层与层转移矩阵T的形式。如上所述，与以前的结果类似，如果找出三维伊辛模型的四面体方程（或者复合杨-巴克斯特方程）的解，2个转移矩阵T(V)和T(V')将对易，即
。 当然，尚面临一个困难，这种系统是过确定性的，在每个局域权重的变量上需要加上约束才能获得一个解。无论如何，这种四面体方程应该存在，因为约当代数和约当-冯·诺依曼-维格纳过程已经确保了对易关系的存在。由于杨-巴克斯特方程不涉及交叉的切断和熔合，在不具有交叉的二维伊辛模型的求解过程中不产生几何相因子。然而，一个四面体关系却涉及交叉的切断和熔合（两个等价的四面体的转移矩阵的相对位置发生改变时，链接这些转移矩阵的线构成交叉发生了改变），所以我们认为，这导致三维伊辛模型的本征矢量上拓扑相因子的出现。
尽管四面体方程的存在确保了三维伊辛模型的转移矩阵的对易性以及模型的可积性，但是如何找到四面体方程的解以及三维伊辛模型的精确解仍然困难重重，前路漫漫，仍有许多艰难险阻，充满了不确定性。
下一回将介绍三维伊辛模型的一些几何性质。
参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：
提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325
初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.
证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2
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