张志东
终结猜想-5- 约当-冯•诺依曼-维格纳机制 精选
2019-5-16 08:04
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提起量子理论的发展历史,首先浮现在我们脑海中的便是量子革命的序曲:普朗克的量子化、爱因斯坦提出光电效应和光量子、卢瑟福提出原子结构的行星模型、玻尔量子化原子结构模型。。。。然后是在二十世纪二十年代奏响的波澜壮阔的量子革命的交响曲:1923年路易·德布罗意(Louis de Broglie)提出光的粒子行为与粒子的波动行为应该是对应存在的。他将粒子的波长和动量联系起来:动量越大,波长越短。1924年夏天萨地扬德拉·N·玻色Satyendra N. Bose)提出了一种全新的方法来解释普朗克辐射定律。他把光看作一种无(静)质量的粒子(现称为光子)组成的气体,这种气体不遵循经典的玻耳兹曼统计规律,而遵循建立在粒子全同性上的一种新的统计理论。爱因斯坦立即将玻色的推理应用于实际的有质量的气体从而得到一种描述气体中粒子数关于能量的分布规律,即著名的玻色-爱因斯坦分布。从1925年元月到1928年元月发生了一系列的事件推动了量子革命:沃尔夫刚·泡利(Wolfgang Pauli)提出了不相容原理,为元素周期表奠定了理论基础。韦纳·海森堡(Werner Heisenberg)、马克斯·玻恩(Max Born)和帕斯库尔·约当(Pascual Jordan)提出了量子力学的第一个形式,矩阵力学。埃尔温·薛定谔Erwin Schrodinger)提出了量子力学的第二种形式,波动力学。体系的状态用薛定谔方程的解——波函数来描述。矩阵力学和波动力学是等价的两种形式。恩利克·费米(Enrico Fermi)和保·A·M·狄拉克(Paul A. M. Dirac)证明电子遵循一种新的统计规律,费米-狄拉克统计。海森堡阐明测不准原理。狄拉克提出了相对论性的波动方程用来描述电子,解释了电子的自旋并预言了反物质。狄拉克提出电磁场的量子描述,建立了量子场论的基础。玻尔提出互补原理,试图解释量子理论中一些明显的矛盾,特别是波粒二象性。

在我们通常见到的量子力学教科书以及量子力学的发展史中,很少提及一项重要的工作,就是为量子力学提供严格数学基础的约当-·诺依曼-维格纳(Jordan-von Neumann-Wigner)机制。

海森堡、玻恩和约当提出量子力学的矩阵力学,这其中存在一个问题,就是矩阵算符的不对易性。对于两个矩阵算符AB,通常AB不等于BA。例如,量子力学中的位置算符x和动量算符p之间存在不对易关系: [x,p]=xp-px=ih不等于0, 所以两者不对易。因为xp是不对易的,所以它们满足不确定性原理量子力学的算符不对易性曾经导致学术界对量子力学的数学基础产生疑问。约当提出约当代数。约当代数的乘法法则A°B=(AB+BA)/2矩阵算符AB具有对称性,不存在对易性问题。从而解决了量子力学的矩阵算符不对易问题。量子力学的代数方法可以建立在约当代数的基础上。1934约当·诺依曼维格纳共同撰写的里程碑式的论文为量子理论提供了数学基础,并且将其推广到以约当代数为基础(P. Jordan, J. von Neumann, and E. Wigner, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. Ann. of Math. 35 (1934), 29-64.)。感谢这篇论文以及约当前期的工作,我们认识到约当代数以及由四元数结构产生的数学结构的重要性。波尔的互补性原理得到一个量子力学的数学体系的给人印象深刻的表示。从薛定谔物质波的三维理论,我们可以量子化理论,并且回到量子力学的希尔伯特空间。量子理论的粒子和波图像的完全等价性找到其严格的数学基础。海森堡不确定性原理、Pauli不相容原理和玻色-爱因斯坦统计都能够在量子理论找到它们适当的位置。约当-·诺依曼-维格纳(Jordan-von Neumann-Wigner)机制可以说是量子革命的交响曲中重要的一个乐章,沉稳的慢板。但是,由于在应用量子力学求解物理问题的时候,通常都是一些简单的问题,或者为了简化起见做了单电子近似,例如单电子的薛定谔方程、固体的能带理论、第一性原理计算等,通常求解的是标量的薛定谔方程,不涉及算符的对易性问题(薛定谔方程不需要同时求解不对易的算符)。一些可以求解的多体问题也需要满足对易性条件,不需要应用约当代数。不知不觉,约当代数被边缘化了。许多人忘记了约当代数的存在和意义。而三维伊辛模型精确解的研究重新发现了约当代数和约当-·诺依曼-维格纳机制的价值。在三维多体体系的精确求解过程中必须要应用约当代数和约当-·诺依曼-维格纳机制来解决算符的不对易问题。正所谓,三十年河东,三十年河西,风水轮流转,六十年一个周期。

我在三维伊辛模型两个猜想的论文中提出的四元数本证函数的数学结构正好与约当-·诺依曼-维格纳机制相通,与量子力学的数学基础相吻合。这对逆境中的我来讲,是一个巨大的鼓舞!在此之前,我对约当-·诺依曼-维格纳机制一无所知,因为我看到的量子力学教科书中从来没有提及约当-·诺依曼-维格纳机制。我也不知道有这样一篇论文的存在。我是自发地从三维伊辛模型体系对称性的角度,从最原始的本能,提出了一个与量子力学的数学基础相吻合的三维伊辛模型本证函数。一个人通过读书能够理解作者的思想,可以说是与古人神交。而大呆通过三维伊辛模型的科学研究能够有所发现,获得的结果与量子力学发展史上几位大牛的思想相通,思想的交融跨越了时空的束缚,真是三生有幸。

下面几篇博文将继续介绍三维伊辛模型的数学结构,包括拓扑结构和几何结构。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 

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