“古德斯坦定理”是由鲁宾·古德斯坦提出的一条关于自然数的命题，即所有古德斯坦序列最终均结束于0。

一，m的“继承n进制”表示法

一个自然数m的古德斯坦序列G(m)是一个自然数序列，是通过定义m的继承n进制构造出来的。

令m和n是自然数，n>1，我们定义m的继承n进制如下：

首先把m写成n的幂之和，例如，如果m=266，n=2：

266=2^8+2^3+2^1

然后把每个指数写成n的幂之和，例如：

266 = 2^2^(2+1)+2^(2+1)+2^1

二，古德斯坦序列

自然数m的古德斯坦序列G(m)是通过m的继承n进制构造出来的：G1(m)，G2(m)，。。。，

我们现在定义序列G(m)的元素：

G(m)的第一个元素G1(m)把m写作继承2进制；元素Gn(m)将m的继承n进制表示法中的每一个n替换为n+1，然后减去1所得，例如：

G1(266) = 2^2^(2+1) + 2^2+1 + 2 

G2(266) = 3^3^(3+1) + 3^(3 +1) + 2 ~ 10^38 

G3(266) = 4^4^(4+1) + 4^(4+1) + 1 ~ 10^616 

G4(266) = 5^5^(5+1) + 5^(5+1) ~ 10^10000.

。。。

尽管古德斯坦序列常常增长得快得惊人，但古德斯坦定理指出每个古德斯坦序列最终终止于0。

比如，G(4)的元素继续增加一段时间，但在底数3*2^402.653.209时，它们达到最大值，在接下来的步骤中停留在那里，然后开始下降。在底数为3*2^402.653.211时达到0。

二，古德斯坦定理证明思路

古德斯坦定理 对于任何m，n > 1，从n开始的m的古德斯坦序列G(m)最终会达到0。

古德斯坦用集合论方法证明了这个定理，其证明思路如下：

给定一个古德斯坦序列G(m)，我们为之构造一个由序数组成的平行序列，这个平行序列的下界就是G(m)。如果这个平行序列中的项能够降到0，那么G(m)的项最终也必定降到0。

这个平行序列的构造方法如下：给定G(m)中的第n项的继承(n+1)进制表示，将其中所有的n+1换成第一个无限序数ω。序数的加法、乘法、乘幂是有标准定义的，所以这样替换的结果是一个序数，并且这个序数不会比原来的项小。由于所有序数在其自然序下构成一个良序集，不存在无穷的单调下降的序数序列，所以这个平行序列一定会终止于0，此时G(m)也为0。

古德斯坦定理这个独特的证明需要进一步解读。

参考文献：

https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem