在乌龟对阿基里斯说 - 刘易斯-卡罗尔的寓言中，乌龟挑战阿基里斯用逻辑的力量让自己接受一个简单演绎推理的结论，但是阿基里斯失败了，因为狡猾的乌龟把他带入了“无限倒退”（infinite regression）。

一，“无限倒退”

“无限倒退”指在解释或证明时，同样形式的解释或证明无止境地继续下去。“无限倒退”有“良性”与“恶性”之分。

此现象可以在不同场合观察到。比如，家喻户晓的故事：“从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚，在给小和尚讲故事；从前有座山，。。。”

在逻辑推理中，“无限倒退”指一个由命题p1, p2, p3, …组成的无限序列，对于任何自然数n，pn的真值取决于pn+1的真值。一般而言，“无限倒退”的证明被认为是失败的，因为无法确立任何结论。

乌龟就是试图让阿基里斯陷入这样的“无限倒退”的境地。

二，对话摘要

乌龟一开始就提出三个命题：

(A) 等于同一事物的事物彼此相等。

(B) 这个三角形的两边等于第三边。

(Z) 这个三角形的两边彼此相等。

然后乌龟问阿基里斯，结论（Z）是否从假设（A）和（B）中逻辑地得出，阿基里斯说确实如此。乌龟问他，是否有一类欧几里德的读者，在不接受A和B是真的情况下，仍然接受此序列作为推理是有效的。阿基里斯认为，这样的读者可能存在，但他认为这是一个糟糕的逻辑学家。

乌龟又问，是否存在第二类读者，他们接受命题A和B为真，但不接受假设A和B。阿基里斯承认，这样的读者也可能存在，然后乌龟要求阿基里斯把自己当作这样的读者，从逻辑上说服自己接受Z为真。

在写完A、B和Z之后，阿基里斯要求乌龟接受命题（C）：“如果A和B为真，那么Z就一定为真”。乌龟愿意接受这个命题，只要阿基里斯把它写下来。写完后，乌龟接受了命题C，但仍然拒绝结论，阿基里斯说： “如果你接受A、B和C，你必须接受Z”。乌龟指出这是一个新的命题，并要求他写在其他命题之后，这种继续下去，乌龟接受了阿基里斯写的每个假设，但不接受结论，最后形成一系列迭代：

(1) 等于同一事物的事物彼此相等；

(2) 这个三角形的两边等于第三边；

(3) 如果(1)和(2)为真，则Z必然为真 ；

(4) 如果(1)，(2)和(3)为真，则Z必然为真 ；

... 

(n) 如果(1)，(2)，...，(n-1)为真，则Z必然为真。

但乌龟仍然拒绝承认这个结论。在对话的最后，乌龟讽刺说，“你把最后一步写下来了吗？除非我忘了数数，否则那是一千零一个，还将有几百万个。”

三，罗素的解读

罗素（Bertrand Russell）在《数学原理》（1903）中简要地论述了这种“越来越复杂的隐含的无限倒退”，指出区分“蕴含”（implication：如果p，那么q）和“演绎推理”（inference：p，因此q）：蕴含表达的是二个命题p和q的关系，p为假设；而在推理中，p必然为真。在此基础上，阿基里斯可以拒绝乌龟的立场，因为乌龟将“从A和B推理出Z”等同于“如果A和B为真，那么Z也为真的蕴含” 。

四，亚里士多德的解读

亚里士多德认为，认识并不必然是无限倒退，因为有些知识并不取决于证明：

 -有些人认为，由于必须知道主要前提，所以不存在科学知识。另一些人认为存在着，但所有的真理都是可以证明的。这两种学说都不是真实的，也不是从前提出发的必然推论。第一派认为，除了证明之外，没有其他的认识方式，这涉及到一个无限倒退，理由是，如果在先验的后面没有后验的，我们就不能通过先验来认识后验（在这里他们是对的，因为人们不能穿越一个无限的系列）：在另一方面如果—他们说—系列终止了，有主要前提，但这些是不可知的，因为不能证明，根据他们，这是知识的唯一形式。既然不能知道主要前提，那么对由这些前提得出的结论的知识就不是纯粹的科学知识，也不是正确的知识，而仅仅是基于前提是真实的假设。另一派同意他们关于认识的观点，认为只有通过证明才有可能，但是他们没有看到所有的真理被证明的困难，理由是证明可能是循环的和相互的。我们自己的学说是，并非所有的知识都是证明性的，相反，对直接前提的认知是独立于证明的。(这一点的必要性是显而易见的；因为我们必须知道证明所来自的先前前提，而且由于倒退必须以直接的真理为终点，这些真理必须是不可证明的）。那么，这就是我们的学说，此外，我们坚持认为，除了科学知识之外，还有它的原始来源，使我们能够认识定义。

- 亚里士多德，《后分析》I.3 72b1-15

The first school, assuming that there is no way of knowing other than by demonstration, maintain that an infinite regress is involved, on the ground that if behind the prior stands no primary, we could not know the posterior through the prior (wherein they are right, for one cannot traverse an infinite series): if on the other hand – they say – the series terminates and there are primary premises, yet these are unknowable because incapable of demonstration, which according to them is the only form of knowledge. And since thus one cannot know the primary premises, knowledge of the conclusions which follow from them is not pure scientific knowledge nor properly knowing at all, but rests on the mere supposition that the premises are true. The other party agrees with them as regards knowing, holding that it is only possible by demonstration, but they see no difficulty in holding that all truths are demonstrated, on the ground that demonstration may be circular and reciprocal. Our own doctrine is that not all knowledge is demonstrative: on the contrary, knowledge of the immediate premises is independent of demonstration. (The necessity of this is obvious; for since we must know the prior premises from which the demonstration is drawn, and since the regress must end in immediate truths, those truths must be indemonstrable.) Such, then, is our doctrine, and in addition, we maintain that besides scientific knowledge there is its original source which enables us to recognize the definitions.

— Aristotle, Posterior Analytics I.3 72b1–15

参考文献：

https://fr.wikipedia.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

https://zh.wikipedia.org/wiki/明希豪森三难困境