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矛盾与悖论 - 悖论可以用于反证法吗?

已有 988 次阅读 2021-9-21 17:13 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

矛盾悖论是逻辑中二个最基本而又相互纠缠的概念,辨析二者对理解逻辑的基本议题至关重要,比如:悖论可以用于反证法吗?即当推理中出现悖论时,悖论可以当作矛盾来否定前提吗?


我们对比论证“√2不是有理数的反证法与ZF公理系统消解罗素悖论,初步辨析矛盾与悖论的关系。


一,例子1:反证法论证“√2不是有理数


反证法论证“√2不是有理数”的过程如下:对于待证命题A(“√2不是有理数”),假设反命题¬A(“√2是有理数)成立,若推出矛盾,则假设不成立,原命题A“√2不是有理数”)为真。


证明

假设 “√2是有理数2 = p/qpq 皆为正整数且互质;

p=√2 ×qp2=2×q2p2 是偶数,p也是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数;

p=2s,代入p2=2×q2,得:q2=2×s2q2也是偶数,q也是偶数;

pq 都是偶数,不互质,这与假设pq 互质矛盾。

所以,假设“√2是有理数不成立,因此“√2不是有理数


二,例子2: “罗素悖论ZF公理系统


根据集合的定义,集合指具有某种性质的事物的总体,于是定义由一切不属于自身的集合所组成的集合R={𝒙xx},即对任意对象xxRxx因为R本身也是一个对象,令x=R,问:R是否属于R?则得罗素悖论:RRRR


数学家们提出消解罗素悖论的一个方案是ZF公理系统,其中分类公理(Axiom schema of specification)重新调整集合的定义:在已知集合A下,定义具有性质P(x)的集合BB={𝒙xAP(x)}


例如,颜色是我们对自然界某一性质的认知,所以可以把颜色看做是一个已知集合A,在此集合下,可以定义红色{𝒙 颜色,红色(𝒙)}


于是,R={𝒙xx}不能在ZF系统中写成一个集合,在ZF公理系统中避免了罗素悖论。


三,矛盾与悖论,对象性与主体性


例子1推出矛盾contradiction):AA=“√2是有理数矛盾(⊥)指同时断言命题“pq 互质与其否定“pq 不互质。此矛盾源于假设A为真,于是通过否定假设A,就可肯定¬A“√2不是有理数所以通过反证法可以消解矛盾。


而例子2推出悖论paradox):ARRRR),A表示集合R的定义,悖论RRRR自我否定,由于不知悖论具体源于何处,所以不能通过否定集合R来消解罗素悖论,而只能对集合的定义进行反思和调整,如提出的ZF公理系统。


可见,矛盾与悖论都是思维“不一致”的表现。对于“矛盾”,知道错在哪里,基于事实的判断,通过反证法可以消除矛盾。而对于“悖论”,却不知错在哪里,只有对事物进行深入而全面的分析,找到产生悖论的根源,才能消解悖论。


所以,矛盾具有对象性”,而悖论具有主体性”,悖论不能当作矛盾用于反证法,。。。


参考文献:

【1】https://zh.wikipedia.org/zh-cn/矛盾

【2】https://baike.baidu.com/item/罗素悖论/633604

【3】矛盾与悖论:http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1005079.html

【4】图灵与维特根斯坦关于矛盾和悖论的对话 - 21讲(1939年):http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1248627.html









http://wap.sciencenet.cn/blog-2322490-1305091.html

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