柳渝
真数学命题从何而来?- Paul Jorion的书第四章“毕达哥拉斯的复仇:当代数学”译文
2021-6-9 13:32
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我们承认,一个数学命题如果是可证明的,它就是真的。哥德尔定理指出,有一些真算术命题是无法被证明的。所以这里至少有一个悖论,以后会消散的。作为消解谜团的准备,我要回顾一下我前面所说的关于为真命题的可能起源。

我已经引用了Ladrière的话,他写道:真命题是公理和定理。然而,哥德尔第二定理确定了算术中存在既不能证明也不能否定(证明其否定)的真命题。那么这样的真命题从何而来呢?它不可能是公理,因为公理是真,而不必证明,是理论基本框架的一部分;也不可能是定理,因为定理的定义是已经证明的命题。

这里从一开始就有一个困难,哥德尔是知道的。在已经引用的John W. Dawson的文章中,他指出:

在回答一位博士生提出的问题的草稿中,哥德尔表示,正是由于他认识到形式定义证明的可能性与形式定义真理的不可能性的不同,才使他发现了不完全性。他没有报告这一点(1931),可以用他的看法来解释(在同一草稿中被划掉的一段话) “由于当时的哲学偏见……数学真理的概念……受到了最大的怀疑,而且往往被认为是毫无意义的

这是非常奇怪的,这里有一种模糊性如果我们在这封信草稿中正确理解哥德尔的话是由于在1931当时的偏见而不能说的事情所造成的,也许可以通过更一般地回答一个听起来很毛主义的问题:真数学命题从哪里来?来澄清真数学命题的问题,这些命题并不属于数学中公认的两类命题公理和定理。

正如我们所看到的,在当代的视野中,任何判断(最好是任何命题)要么是真的,要么是假的,在柏拉图已经表述的adoequatio Rei et intellects的意义上,名与实的充分对应,这在第二章中已经讨论过。从这一点来看,否定被看作是肯定的反面。由于今天所有话题的目的基本上不是为了避免自相矛盾,而是为了说出真实的东西,因此,对于柏拉图来说,有两种手段可以达到这个目标:要么肯定真实,要么否定虚假。换句话说,说真就真,说假就假。如果我给你看的苹果确实是红色的,那么这个苹果是红色的这个命题就是真的。如果这个苹果是其他颜色的,那就是假的。确立命题真实性的一种方法是通过明确的感觉,命题必须描述感觉证实的事物的状态。

还有一些真理是约定俗成的,因为它们是定义,即语言通过用一个术语代替几个术语给自己提供的捷径,恩斯特-马赫在19世纪末称其为 "心理经济"。因此,拿上面已经举过的例子来说,"小鹿是鹿的幼崽",我们可以继续说 « 鹿的幼崽 »。或立法条文的内容与宪法精神相抵触的,称为违宪。从这一点上看,内容与宪法精神相抵触的立法文本是违宪的这一命题是一个同义词,也就是说,在这种情况下,从定义上看是真的。

我们还可以通过演绎得出真命题。例如,我们拿一个命题来说,它的真实性可以通过感官得到确定:雨是湿的;我们也可以通过推理的方式,用同义词来确定它的真实性: “雨是水 “水是湿的,所以雨是湿的。或者通过引用定义:22号提案与宪法精神相抵触,因此第22号提案是违宪的

有人问我有白骆驼吗?如果我不知道答案,最终可以进行推理:所有的哺乳动物种类都有白色品种 “骆驼是哺乳动物,所以有白骆驼。然而,任何命题的真实性不能都这样确定:如果这次有人问我, “在亚马逊河里是否存在一种黄底上有十七个黑点的瓢虫,我要么在昆虫学动物群中发现答案,要么到亚马逊河进行考察,最终为这个命题带来无可辩驳的经验证实。

由此,我们可以列举出真命题的类型:有的真命题是因为其内容是显而易见的,每一个持有这些真命题的人都可以合法地把它们作为推理的前提;有的真命题是因为它们已经被证明是真命题,作为对称论证明的结论(普通数学证明就是其中的例子);也有按惯例是真的,因为它们是定义。

而且,正如我们在第二章中所看到的那样,既然从两个真前提中只能得出一个真结论,那么,为了继续我们的推理,我们将不得不引入新的定义而我们由此产生的新的真理将是这些定义的简单后果或者到世界上去寻找属于理性范围内的新的事实,即能证实假说或归纳事实的观察,也就是上面提到的那种两个。长寿是无胆动物的属性 “人、马、骡子是无胆的 “人、马、骡子长寿

我们已经看到,哥德尔第二定理断言,在算术中存在着不可判定的命题,即不能证明的真命题,也就是不能在算术中演绎证明的真命题。 根据我刚才所说的情况,这只能意味着一件事:既然这些命题的真实性不能被演绎地判定,那么它一定是由真命题的另外两个来源中的一个产生的:要么它们是因定义而为真的命题,要么它们是因其真实性明显而为真的命题。但这里不是一个定义为真的命题问题:一个命题如果因为定义为真而不能被推导出来,那么它就必须是理论的公理的一部分,即基本命题的一部分,从这些基本命题中可以推导出其他真命题(定理)。因此,哥德尔提到的不可推导的真命题一定是真的,因为它们的真实性是不言而喻的。

那么,一个数学外行必须问哥德尔和那些支持他的立场的人:"算术中一个命题的真实性是否可以像证明亚马逊河上有一只黄背景上有十七个黑点的瓢虫一样--独立于它的证明而成立?换句话说,应该进行什么样的考察,才能证实那些无法通过演绎判定其真实性的命题的真实性? " 



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