简单证明孪生素数无数多可为无穷大其间的差值仍为有限值

                                    中国科学院力学研究所吴中祥

提           要

利用一个表达并确定各素数的序数、数值的简单方法，简单证明了孪生素数无数多可为无穷大其间的差值仍为有限值。

关键词：孪生素数，序数，数值，无穷大，有限值

1．孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对，即p和p+2同为素数。

前几个孪生素数分别是：

（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。

100以内有8个孪生素数对；501到600间只有两对。

随着数的增大，孪生素数越来越少。

2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布，《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何简单证明、估算？

2．表达并确定各素数的序数、数值的简单方法

 “素数”是由除“1”和其自身外，不可被任何整数整除的整数，按其定义，就有，各素数都有不能被，小于它的所有素数，整除，的基本特性。

利用此一特性，就可采用：整数，m，以表达各“素数”，j(m)，的顺序.而由j(m)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，判定j(m)是素数。

这样，我们就知道：m=1，j(1)=2, m=2，j(2)=3, 就是奇数，而 m=和>2, 则 j(m)+1，就都是能被2整除，而必然不是素数，就完全可以：对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定j(m)+2s是j(m+1)。

   如此，就完全可以按序数，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，例如：

m     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15，…，无穷大

j(m)   2  3  5  7  11 13 17  19 23  29 31 37 41 43 47，…，j(无穷大)

直到m=无穷大，j(m)= j(无穷大)，即：无穷大素数。

3．孪生素数无数多，可为无穷大，其间的差值仍为有限值

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上简便方法：

这样，每一对素数之差值，如何估算的问题，即：

当j(m+1)=j(m)+2，j(m+s(m)+1)=j(m+s(m))+2，

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)=j(m+s(m)+1)-j(m+1)=？。

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，s(m)=任意自然数，除m=1时，r(1, 1)是奇数，而外，其它所有m大于1的r(m,s(m))就都是偶数。而且，有：

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，

r(m+1,s(m+1))=j(m+1+s(m+1))-j(m+1)，

… … …

r(m+n,s(m+n))=j(m+n+s(m+n))-j(m+n)；n=1,2, …,，直到无穷大。

当m=无穷大，j(m)= j(无穷大)=无穷大。并有：

j(无穷大)+任何有限数= j(无穷大)= j(无穷大+任何有限数)。

r(m+无穷大,s(m+无穷大))=j(m+无穷大+s(m+无穷大))-j(m+无穷大)=有限极限值。

对于孪生素数，就有：

j(m+1)=j(m)+2，j(m+s(m)+1)=j(m+s(m))+2，

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)=j(m+s(m)+1)-j(m+1)。

只要确定m 与s(m)，即可由：

j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，

j(m+s(m))/j(m+s(m)-k); k=1,2,…,m+s(m)-1,都不是整数，分别得到：j(m)、j(m+s(m))，即有：r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)。也就是，对于任何给定的m和s(m)，乃至无穷大的m，就都完全能确定r(m,s(m))，例如：

j(m)       3  5  7   11  17  29  41  59  71   101  107  137  179   191  

s(m)       1  1  1   2   3   3   4   3   6    2    5    8    2    2

j(m+s(m))  5  7  11  17  29  41  59  71  101  107  137  179  191  197

r(m,s(m))   2  2  4   6   12  12  8   12  30   6    30   42   12   6

j(m)       900089  900329  900551  900671  900761  900929  900971

s(m)       20      11      13      8       10      4              14

j(m+s(m))  900329  900551  900671  900761  900929  900971  901169

r(m,s(m))  240    222    120      90      168     42      98

………，等等。

就完全能确定r(m,s(m)) =j(m+s(m))-j(m)，的具体数值。

而且，只要m 是有限的，j(m+s(m))、j(m)就都是有限的数值，当然，r(m,s(m))就只能是小于j(m+s(m)) 的，有限的数值。

当m=无穷大，j(m)、j(m+s(m))，就也都是无穷大，但是，由r(m,s(m))随m的变化规律，就可确定r(m,s(m)) =j(m+s(m))-j(m)，随m变化是有极限的，也就仍是有限值。

张益唐曾求得这个极限值是：不超过七千万。

而且，取更大的m值，这个极限值就可随着m的增大而愈来愈小的，更为精确的、的数值。

这就证明了r(m,s(m))是有限值，也就证明了j(m+s(m))与j(m)间的距离是有限值，而且，这个极限值随着m的增大而愈来愈小。