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“数”(2)

已有 2501 次阅读 2015-10-12 13:39 |个人分类:数理|系统分类:论文交流| “数”(2)

                “数”(2

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

(接(1))

 

5,一些特殊的数的一些规律性

在前节,已由数本身的特性和变化规律,得到了一些特殊的数,例如:0、“无穷小”(即在一定条件下,要多小就有多小,乃至趋于0,但始终不=0)、“极大”(即在一定条件下,最大的数)和“无穷大”(即在一定条件下,要多大就有多大,乃至趋于极大,但始终不=极大)

 

它们的4则运算与通常的数都不相同。例如,

对于通常的数,A,有:

A+0=AA+无穷小~A A-0=AA-无穷小~A A0=0A乘无穷小~0 A0=极大,A除无穷小~无穷大,

0无正、负之分别,其与通常任何数的4则运算结果的正负,都由其它数的正负决定。

无穷小、极大、无穷大都与其它数一样有正、负之分别,其与其它任何数,除0而外,的4则运算结果的正负都与其它数的一样,仍按正正为正,负负为正,正负为负,负正为负。

 

任何通常正、负数A0、或无穷小+正无穷大、或极大,都=正无穷大、或极大。

任何通常正、负数A0、或无穷小+负无穷大、或极大,都=负无穷大、或极大。

任何通常正、负数A0、或无穷小-正无穷大、或极大,都=负无穷大、或极大。

任何通常正、负数A0、或无穷小-负无穷大、或极大,都=正无穷大、或极大。

任何通常正、负数A0、或无穷小无穷大、或极大,都=无穷小,或0

任何通常正、负数A、除 0,都=无穷大、或极大,

 

任何有限数多次,除无穷大,使得无穷小逐次产生更高的级别。

任何有限数多次,除 0,使得极大逐次产生更高的级别。

任何有限数 (n0)=n极大。

任何有限数 (n级无穷大)=n级无穷小。

 

n级无穷大 (n’级0)=(n级无穷大)(n’级极大)

n0 (n’级无穷大)= (n0)(n’级无穷小)

(n0) (n级无穷大)=(n级无穷大) (n0) =任何有限数。

(n0) (n0)=(n级无穷小) (n级无穷小) =任何有限数。

 

等等。

 

6. 那些特殊的数与其它的各种“数”对实际问题的作用

那些特殊的数也都与其它的各种“数”一样,在实际事物中显示出重要作用。例如:

   一切物体的中心位置,不论是时轴或3个空间轴,就都可以用,0,来标志。

按相对论,距中心的4维时空距离就可以用4维时空距离矢量的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),来表达。

当其时轴分量的模长趋于,而不=0ict就是无穷小,相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就趋于,而不=,在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大,就是在此条件下的无穷大。

反之,当其3个空间的模长趋于,而不=0(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就是无穷小,相应的时轴分量ict就趋于,而不=,在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大,就是在此条件下的无穷大。

当其时轴分量的模长=0ict就是=0,相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就=在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大。

反之,当其3个空间的模长=0(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)=0,相应的时轴分量ict=在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大。

 

任何粒子(包括实物粒子和光子)的运动速度的模长:

v=(-c(3)^2+v(3)^2)^(1/2)

v(3) =该粒子在该介质中,3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中,3维空间速度的模长。

 

任何粒子(包括所有在该介质中,3维空间速度小于光子的粒子和光子)的运动质量:

m=m(0)/(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)

m(0)=该粒子的静止质量。

v(3)=该粒子在该介质中,3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中,3维空间速度的模长。

 

因所有粒子,都在时空运动,且都不可能有无穷大的力作用,其运动质量必不=0,也不能=无穷大。

 

对于所有在该介质中,3维空间速度小于光子的粒子:

(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)都不=0,因而,m(0)必不=0

 

对于光子:v(3)=c(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)=0,只有m(0)=0,才能合理地,使m不=无穷大。m=0/0=任何有限数,仍有意义,但其数值不能由此公式确定。而需,也可,利用大量同种光子集体表现或统计效应的波长或频率求得,即:m=h(频率/2)/c(3)^2)其中,h是普朗克常数。

 

   又例如:物体连续性的确切定义:

对于任何随某个参量, x, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x), 2维事物。x就是变量,y=f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?

如果有两个一一对应的无限小,a b,当x趋近于c时,存在并且=对应的f(c)x 改变a;则f(x)改变b,就称:x = c 时,f(x) 连续。

 

对于任何随某n个参量, x1x2、…,xn, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x1x2、…,xn), n+1维事物。x1x2、…,xn,就是变量,y=f(x1x2、…,xn) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?

 

如果有n+1个一一对应的无限小,a1a2、…,an b,当x1x2、…,xn趋近于 c1c2、…,cn时,存在并且=对应的f(c1c2、…,cn) x1x2、…,xn 改变a1a2、…,an;则f(x1x2、…,xn)改变b,就称:x1x2、…,xn = c1c2、…,cn 时,f(x1x2、…,xn) 连续。

 

但是,对于某些实际情况,例如:化合物、合金、溶液等整体的连续性,所取的任意小就可以不必真正趋近于0,而实际上,只需趋近于稍大于其中各原子的尺度,或视觉上近于0,即可。

 

对于各种事物的各种特性,对应的x 可以是时间、长度、体积,甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

 

对于各类不同的“数”,就要考虑到,例如:有理数(整数、分数(小数、循环小数))、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数,都包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上;所有的正、负虚数,包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数,也都可包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上;而全部相应的复数,就是此实数轴虚数轴所组成的平面上相应的各点。

 

考虑“数”的连续性,对实数轴虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行,因此,只能对全部实数、虚数、复数(可视为实数与虚数组成的2维数)进行,而不可能分别对有理数(或整数、分数(或小数)或无理数进行。

 

这就可见:0、无穷大和无穷小,等特殊的“数”及其运算规则,和使用方法,与其它的各种“数”有显著不同,但是,都一样地,对解决实际问题有着非常重要的作用。

 

(未完待续)

 



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