任意不可约方程仅由实数虚数或复数表达的根式解

中国科学院 力学研究所 吴中祥 

提           要

突破了历代数学家近500年的努力，全面、具体给出了任意n次不可约代数方程的，仅由实数、虚数或复数表达的，公式解。

必将促进各种数学问题产生革命性的发展。

关键词：不可约代数方程，公式，伽罗华理论，根式

引言

早在公元前3世纪，就已得出2次不可约代数方程的根式解。但是，直到公元16世纪，

才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。

而此后的近5个世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功 [1]、[2]、[3] 。

特别是，伽罗华[2]、[3]从已有的解法都引进并含有方程系数函数2次、3次根式，分析各根式群的特点，而给出“代数方程能够求得根式解的判据”之后，阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 据此，首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，学术界就似已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 。

因而，对于n>4 的不可约代数方程，就只能在具体分析其各“解”所在数域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数，求解。这当然就给许多实际问题和理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便。

本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已具体分析得到： 伽罗华理论[2][3]，确可证明方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而当这种变换群的阶数>4时，其对称置换群，及其子群，就都是非交换群的单群，就都是不可解的。

伽罗华所证明的，实际上，只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4”，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

但是，显然，其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，并非所解方程的次数n，按伽罗华理论，完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，等于所解方程的次数n，或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。

因而，按伽罗华 理论，认为“n>4的不可约代数方程没有根式解”；本身就是混淆n*与n，而得出的错误结论。

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-840162.html

更从求解代数方程过程中，变换变量、引入根式，所形成的群，具体分析说明，伽罗

华理论，并具体给出了任意5次、6次代数方程的根式解法及其实例。还推广到m逐次增大的，任意n=2m和2m+1次代数方程的根式解的相应解法。

具体表明：任意n次不可约代数方程都完全可以解得根式解。

进而，“任意n次不可约代数方程的根式解及其有解判据（简）”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-841330.html

指出：一般而言，任意负实数，-s，的j次根式，(-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以(-1)^(1/j)所标志的各自与实数不同的数类。

当j=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，标志该数是所谓“虚数”。

但是，当j=其它数，则实际上都分别是(-1)^(1/2)的复函数，但是，在解方程时，并不能确定。

这就表明：如果在方程的变换中，出现j大于2的 (-1)^(1/n)，就不能仅由实数、虚数，或复数而得解。

因而，通常方程的解，引进了负数大于2次的根式，实际上，就尚未得到方程确切的解。

在解任意n次不可约代数方程时，只有含有(-1)^(1/n)分别能表达为相应的复函数。，就，也才，可确切地得到，仅以实数、虚数或复数表达的确切的公式解。

并且具体表明：任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数，也不受引进根式次数的限制，而实际并不存在任何不可解的判据。

    本文，全面、具体给出任意n次不可约代数方程，仅以实数、虚数或复数表达的，确

切的，公式解。

1. 任意n次不可约代数方程的普遍表达式

任意n次不可约代数方程：

{a’[n,j]x^j ; j=0到n求和}=0,                                       (1.1”)

左边是x的 n 次多项式, 它的各系数：a’[n,j]; j=0,1,2, …,n, 都是任意常数。

总可各项除以a’[n,j]表达为：

x^n+{a[n,j] x^j ; j=0到n-1求和}=0,                               (1.1’)

左边x n 次多项式的各系数：a[n,j]=a’[n,j]/a’[n,n]; j=0,1,2,…,n-1, 都是任意常数，而a[n,n]=1。

又总可经x的变换，y=x+a[n,n-1]/n，而有：

x=y -a[n,n-1]/n，

x^2=y^2-2y a[n,n-1]/n +(a[n,n-1]/n)^2，

x^3=y^3-3y ^2(a[n,n-1]/n)+3y(a[n,n-1]/n)^2-(a[n,n-1]/n)^3，

………

x^n=y[n]^n-ny^(n-1)(a[n,n-1]/n)+(n(n-1)/n)y ^(n-2)(a[n,n-1]/n)^2

      ………(j为奇数；为-，j为偶数；为+)(n(n-1) …(n-j)/(j！))y ^(n-j)(a[n,n-1]/n)^j

………(n为奇数；为-，n为偶数；为+) (a[n,n-1]/n)^n，

而使x方程表达为：

y^n+{b[n,j]y^j ; j=0到n-2求和}=0,                              (1.1)

各系数b[n,j]均可由以上各关系式，得出，由x[n]方程各系数的函数具体表达。而其中b[n,n-1] =0。

方程(1.1)有n个根，y[j]；j=1,2，到n，各根与各系数有如下关系式：

y[1]+y[2]+y[3]+…+y[n]=0,                                              (1)

y[1](y[2]+y[3]+…+y[n])+y[2](y[3]+y[4]+...+y[n])+…+y[n-2](y[n-1]+y[n])

+y[n-1] y[n]=b[n-2],                                                  (2)

y[1]y[2](y[3]+y[4]+...+y[n])+y[2]y[3](y[4]+y[5]+…+y[n])+…+ y[n-2]y[n-1]y[n])

=-b[n-3],                                                           (3)

…   …   …   …   …   …   …   …   …   …   …   …

y[1]y[2]y[3]…y[n-2](y[n-1] +y[n])+y[2]y[3]…y[n]=(n为偶，则-)b[1]           (n-1)

y[1]y[2]y[3]…y[n]= (n为奇，则-)b[0],                                     (n)

分别为n个互不相依的方程。

   由此n个方程，解得这n各根，即可得到这n次不可约代数方程，仅由实数、虚数或复数表达的公式解。例如：

1．1．求解任意2次不可约代数方程

2次不可约代数方程：x^2+a1x+a0=0，          {1.1.1}

都可由变换y=x+a1/2，x=y-a1/2，x^2=y^2-a1y+a1^2/4,而使

原方程变换为：

y^2-a1y+a1^2/4+a1(y-a1/2)+a0=0，1次项的系数=0的如下形式：

y^2+b0=0,  b0=a0-a1^2/4,                         {1.1.1’}

由此，解得：

y1=+i(b0)^(1/2),             (1’)

y2=-i(b0)^(1/2),             (2’)

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1*)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)， (2*)

   当(a1/2)^2-a0=0，2解为相同的实数：

x1= x2=-a1/2,               (1*’)

   当(a1/2)^2-a0>0，2解为不同的实数：

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1*”)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)， (2*”)

   当(a1/2)^2-a0<0，2解为互共轭的复数：

x1=-a1/2+i((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1*”’)

x2=-a1/2-i((a1/2)^2-a0)^(1/2)， (2*”’)

  即得任意2次不可约代数方程，仅由实数、虚数或复数表达的公式解。

  1．2． 3次不可约代数方程的根式解

x^3+a2x^2+a1x+a0=0，作变换：,

x=y-a2/3,

x^2=y^2-2a2y/3+a2^2/9,

x^3=y^3-a2y^2+a2^2y/3-a2^3/27

  x方程变换为：

y^3+b1y+b0=0, 其中， b1=a2^2/3, b0=a0-a2a1/3+2a2^3/27,

  y方程有3个根：y1、y2、y3，

  方程的根与系数有如下关系：

y1+y2+y3=0， y3= -(y1+y2),  (1)

(y1+y2)y3+y1y2=b1,         (2)

y1y2y3=-b0,                (3)

(1)   代入(2)、(3)，消去y3:

即得两个仅由y2及方程各系数表达的y1表达式：(2’)、(3’)。

由(2’)、(3’)，消去y1后的2式，对y2逐次降幂，即得仅由方程各系数表达的y2表

达式：                                                      (1*)

(1*)代入(2’),即得仅由方程各系数表达的y2表达式：         (2*)                                        

(1*)、(2*)代入(1)即得仅由方程各系数表达的y3表达式：：   (3*)

(1*)、(2*)、(3*)，就是没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，3次不可约代数方程的3个根式解。

2．任意2m次不可约代数方程的公式解

  任意的n次不可约代数方程，都可归属于2m次和2m+1次的两类。

对于任意2m次不可约代数方程都总可表达为：

x^(2m)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+a[0]=0，

当m>1，其多线矢还都可改写为如下2个m次不可约代数方程的多项式乘积的形式，即：

(x^m+a’[m-]x^(m-1)+…+a’[1]x+a’[0])(x^(m)+a”[m-1]x^(m-1)+…+a”[1]x+a”[0])=0，

由此都可解得：各a”[j]、a’[j]；j=0,1, … m-2为a[j]；j=0,1, … 2m-2，仅含2次根式的函数。

即可，由其2次根式内的函数，分别，=0、>0、<0，的各情况，解得的a”[j]、a”[j]；j=0,1, … m-2都可以是实数、虚数或复数，而2个m次方程就都可分解为实部和虚部，分别求解，而都不会有-1的大于2的根式，即得仅由实数、虚数或复数表达的，该2m次不可约代数方程的根式解。

2．1．任意4次不可约代数方程的公式解。

按此法，任意4次的不可约代数方程总可表达为：

x^4+a2x^2+a1x+a0=0，

将原方程表达为：

(x^2+a’1x+a’0)(x^2+a”1x+a”0)=0，而有：

a1’+a1”=0,    a1” =-a1’,  (1)

a0’+a1”a1’+a0”=a2,       (2)

a0”a1’+a1”a0’=a1,        (3)

a0”a0’=a0,   a0” =a0/a0’,  (4)

(1)                分别代入(2)、(3)，消去a1”，即得仅由a0’、a0”、 a1’，及方程各系数表达

的表达式：(2’)、(3’)。

(4)  分别代入(2)、(3)，消去a0”，即得仅由a0’、 a1’ 、a1”，及方程各系数表达

的表达式：(2”)、(3”)。

   由(2’)、(3’) 、(2”)、(3”),均有a0”的2个表达式，对a0”逐次降幂，即得仅由a0’、 a1’ 、a1”，及方程各系数表达的a0”的表达式：(5)。

   并由消去a0”,得到仅由a0’、a1’、a1”，及方程各系数表达的2个表达式：(5’)、(5”)。

再由(5’) 、(5”)对a0’逐次降幂，即得仅由a1’、a1”，及方程各系数表达的a0 ‘的表达式：(6)。

并由消去a0’,得到仅由a1’、a1”，及方程各系数表达的2个表达式：(6’) 、(6”)。

再由(6’) 、(6”) 对a1’逐次降幂，即得仅由a1”，及方程各系数表达的a1’的表达式：(7)。

并由消去a1’,得到仅由a1”，及方程各系数表达的2个表达式：(7’) 、(7”)。

再由(7’) 、(7”) 对a1”逐次降幂，即得仅方程各系数表达的a1”的表达式：(1*)。

(1*)代入(7)，即得仅方程各系数表达的a1’的表达式：                   (2*)。

(1*)、(2*)代入(6)，即得仅方程各系数表达的a0’的表达式：            (3*)。

(1*)、(2*)、(3*)代入(5)，即得仅方程各系数表达的a1”的表达式：        (4*)。

(4*)代入(1)，即得仅方程各系数表达的a1’的表达式：                  (5*)。

(3*)代入(4)，即得仅方程各系数表达的a0’的表达式：                   (6*)。

于是，对于各相应系数的2个2次方程：x^2+a1’x+a0’=0，x^2+a1”+a0”=0，可分别解得各2个解：

x1=-a1’/2+((a1’/2)^2-a0’)^(1/2),  x2=-a1’/2-((a1’/2)^2-a0’)^(1/2),

x3=-a1”/2+((a1”/2)^2-a0”)^(1/2),  x4=-a1”/2-((a1”/2)^2-a0”)^(1/2),

而得到，没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，4次不可约代数方程的4个根式解。

2．2． 6次不可约代数方程的根式解

按此法，任意6次不可约代数方程总可表达为：

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,

又总可表达为：

(x^3+a’2x ^2+a’1x+a’0)(x^3+a”2x^2+a”1x+a”0)=0, 有：

a’2+a”2=0,  a’2=-a”2,         (1)

a’1+a”2a’2+a”1=a4,           (2)

a’0+a”2a’1+a”1a’2+a”0=a3,     (3)

a”2a’0+a”1a’1+a”0a’2=a2,      (4)

a”1a’0+a”0a’1=a1,            (5)

a”0a’0=a0,  a”0=a0/a’0,       (6)

(6)代入 (3)、(4)、(5)，消去a”0，即得仅由a’0、a’1 、a”1、a’2、a”2，及方程各系数表达的表达式：(3’)、(4’)、(5’)。

(1)   代入(2)、(3’)、(4’)、(5’)，消去a”2，即得仅由a’0、a”0、a’1、a”1、a’2，及方程

各系数表达的表达式：(2’)、(3”)、 (4”)、(5”)。

   由(2’)、(3”) 、(4”)、(5”),均有a”1的2个表达式，对a”1逐次降幂，即得仅由a’0、a”0、a’1 、a’2，及方程各系数表达的a”1的表达式：(7)。

   并由消去a”0,得到仅由a’0、a”1、a’2，及方程各系数表达的2个表达式：(7’) 、(7”)。

再由(7’) 、(7”) 对a’0逐次降幂，即得仅由a’1、a”1，及方程各系数表达的a’0的表达式：(8)。

并由消去a’0,得到仅由a’1、a”1、a’2，及方程各系数表达的2个表达式：(8’) 、(8”)。

再由(8’) 、(8”) 对a’1逐次降幂，即得仅由a”1、a’2，及方程各系数表达的a’1的表达式：(9)。

并由消去a’1,得到仅由a”1、a’2，及方程各系数表达的2个表达式：(9’) 、(9”)。

再由(9’) 、(9”) 对a’2逐次降幂，即得仅由方程各系数表达的a”1的表达式：(1*)。

   (1*)代入(9)，即得仅由方程各系数表达的a’2的表达式：                   (2*)。

   (1*),(2*)代入(8)，即得仅由方程各系数表达的a’0的表达式：               (3*)。

   (1*),(2*),(3*)代入(7)，即得仅由方程各系数表达的a”1的表达式：           (4*)。

   (2*)代入(1)，即得仅由方程各系数表达的a”2的表达式：                  (5*)。

   (3*)代入(6)，即得仅由方程各系数表达的a”0的表达式：                   (6*)。

于是，对于各相应系数的2个3次方程：x^3+a’2x^2+a’1x+0=0，x^3+a”2x^2+a”1+a”0=0，分别解得各3个解, 而得到，没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，6次不可约代数方程的6个根式解。

类似地，即可解得没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，任意（2m）次的不可约代数方程的公式解。

3．2m+1次不可约代数方程的根式解

  2m+1次方程总可变换变量而成为：

x^(2m+1)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0，

     有2m+1个根：x[1]、x[2]、…、x[2m+1]，

也都可以表达为：

(x^(2m)+a’[2m-1]x^(2m-1)+…+a’[1]x+a’[0])(x-x[2m+1])=0,

     与原方程对比，即得：

a’[2m-1]-x[2m+1]=0， x[2m+1]=a’[2m-1]，

a’[2m-2]-x[2m+1]a’[2m-1]=a[2m-1]，a’[2m-2]=x[2m+1]^2+a[2m-1]，

a’[2m-3]-x[2m+1]a’[2m-2]=a[2m-2]，

a’[2m-3]=x[2m+1]^3+x[2m+1]a[2m-1]+a[2m-2]，

a’[2m-4]-x[2m+1]a’[2m-3]=a[2m-3]，

   a’[2m-4]=x[2m+1]^4+x[2m+1]^2a[2m-1]+x[2m+1]a[2m-2]+a[2m-3]，

… … …

a’[2]-x[2m+1]a’[3]=a[3]，

- a’[3]=a[3]/x[2m+1]+a[2]/x[2m+1]^2+a[1]/x[2m+1]^3+a[0]/x[2m+1]^4，

a’[1]-x[2m+1]a’[2]=a[2]，- a’[2]=a[2]/x[2m+1]+a[1]/x[2m+1]^2+a[0]/x[2m+1]^3，

a’[0]-x[2m+1]a’[1]=a[1]，-a’[1]=a[1]/x[2m+1]+a[0]/x[2m+1]^2，

-x[2m+1]a’[0]=a[0]，a’[0]=-a[0]/x[2m+1]，

3.1. 5次不可约代数方程的根式解

按此法，即可将任意5次不可约代数方程表达为：

y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,    (1’)

   有5个根：y1、y2、y3、y4、y5，

   按此法，将(1’)表达为：

(y^4+b3’y^3+b2’y^2+b1’y+b0’)(y-y5) =0，即得：

-b3’=b3/y5+b2/y5^2+ b1/y5^3+b0/y5^4，

-b2’=b2/y5+b1/y5^2+b0/y5^3，

-b1’=b1/y5+b0/y5^2，

-b0’=b0/y5，

y5=b3’,                              (1)

以(1)代入其它各式，即得：

b3’^5+b3b3’^3+b2b3’^2+b1b3’+b0=0，    (2)

b2’b3’^3+b2b3’^2+b1b3’+b0=0，         (3)

b1’b3’^2+b1b3’+b0=0，                 (4)

   由(4)解得：

b3’=(-b1/2+,-((b1/2)^2-b0)^(1/2))/b1’,      

   当(b1/2)^2-b0=0，则：

b3’=-b1/(2b1’)，                                        (5’)

   当(b1/2)^2-b0>0，则：

b3’=(-b1/2+,-((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1’(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)), (5”)    

   当(b1/2)^2-b0<0，则：

b3’=(-b1/2+,-i((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1’(i((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)), (5”’)    

   (5)代入(1),即得：

y5=(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))/b1’,

   当(b1/2)^2-b0=0，则：

y5=-b1/2，                                        (5*’)

   当(b1/2)^2-b0>0，则：

y5=(-b1/2+,-((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1), (5*”)    

   当(b1/2)^2-b0<0，则：

y5=(-b1/2+,-i((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(i((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)), (5*”’)    

   (5)代入(4), 即得：

(-b1/2((b1/2)^2-b0)^(1/2))^2+b1(-b1/2+,-((b1/2)^2-b0)^(1/2))+b0b1’=0，  

b1’=b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1，                            

   当(b1/2)^2-b0=0，则：

b1’=1，                       (6’)=(c’)

   当(b1/2)^2-b0>0，则：

b1’=b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1， (6”)=(c”)    

   当(b1/2)^2-b0<0，则：

b1’=ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1， (6”’)=(c”’)    

   (6)代入(5), 即得：

b3’=(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1),      

   当(b1/2)^2-b0=0，则：

b3’=-b1/2，                                           (7’)

   当(b1/2)^2-b0>0，则：

b3’=(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1),   (7”)  

   当(b1/2)^2-b0<0，则：

b3’=(-b1/2+i((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1),  (7”’)    

   即已解得：

   当(b1/2)^2-b0=0，则：

y5=-b1/2，                                                (a’)

   当(b1/2)^2-b0>0，则：

y5=(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1),    (a”)  

   当(b1/2)^2-b0<0，则：

y5=(-b1/2+i((b1/2)^2-b0)^(1/2))/(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1),   (a”’)  

b0’=-b0/y5

=-b0(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))，(b)

 当(b1/2)^2-b0=0，则：

b0’=2b0/b1，                                              (b’)

 当(b1/2)^2-b0>0，则：

b0’=-b0(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2)),    (b”)  

 当(b1/2)^2-b0<0，则：

b0’=(-b0(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+i((b1/2)^2-b0)^(1/2)),   (b”’)  

   (7)代入(3), 即得：

b2’=

+b2(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))

+b1(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^2/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))^2

+b0(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^3/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))^3，(8)=(d)

  当(b1/2)^2-b0=0，则：

b2’=-2(1+(b2+b0)/b1)，                                  (8’)=(d’)

 当(b1/2)^2-b0>0，则：

b2’=+b2(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))

+b1(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^2/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))^2

+b0(b1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^3/(-b1/2+((b1/2)^2-b0)^(1/2))^3，(8”)=(d”)  

 当(b1/2)^2-b0<0，则：

b2’=+b2(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)/(-b1/2+i((b1/2)^2-b0)^(1/2))

+b1(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^2/(-b1/2+(i(b1/2)^2-b0)^(1/2))^2

+b0(ib1((b1/2)^2-b0)^(1/2)/b0+1)^3/(-b1/2+(i(b1/2)^2-b0)^(1/2))^3，(8”’)=(d”’)

   分别按(b1/2)^2-b0=0、>0、<0,的，(b)、(c)、(d)代入以下的4次方程：

y^4+b3’y^3+b2’y^2+b1’y+b0’=0，        (2’)

按2.1.节方法，分别对实部和虚部，都解出4次方程，(2’) ，的各个解，也即是此5次方程仅由方程各系数表达的，yj；j=1,2,3,4，4个解。

再将此各解变换为变量x，就也即是此5次方程的xj；j=1,2,…,4，的4个仅由此5次方程各系数,表达的解。

而得到，没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的， 5次的不可约代数方程的公式解。

类似地，即可解得没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，任意（2m+1）次的不可约代数方程的公式解。

4．任意n次不可约代数方程均可普遍如此，没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，解得其公式解

当2m次方程的m很大时，还可在解2，节方法中的m次方程时，当m=2p次时，可还采用类似2，节的方法，而只需解相应的p次方程，即可得解；当m=2p+1次时，也还可采用类似3，节的方法，而只需解相应的2p次方程，即可得解。

以此类推，只要按2，节方法解得4次和6次方程，就能简便地解得8次和12次方程

按3，节方法解得5次和7次方程的解，就能简便地解得9次和13次方程，直到按如下重要且有趣的级数（将另文更具体地讨论此级数）：

2,3、

4,6；5,7、

8,12；9,13、10,14；11,15、

16,24；17,25、18,26；19,27、20,28；21,29、22,30、23,31、

32,48；33,49、34,50;  35,51、36,52;  37,53、38,54,  39; 55、

      40,56;  41,57、 42,58;  43,59、44,60; 45,61、46,62; 47,63、

………

即：

2^s,3乘2^(s-1)；2^s+1,3乘2^(s-1)+1

2(2^(s-1)+1), 2(3乘2^(s-2)+1)、2(2^(s-1)+1)+1, 2(3乘2^(s-2)+1)+1、

2^2(2^(s-2)+1), 2^2(3乘2^(s-3)+1)、2^2(2^(s-2)+1)+1, 2^23(乘2^(s-3)+1)+1、

………

2^(s-2) (2^2+1), 2^ (s-2) (3乘2+1)、

2^(s-2) (2^2+1)+1, 2^(s-2) (3乘2+1)+1； s=1,2,…,n(任意大的整数)。

就能简便地解得，没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，任意n次不可约代数方程的公式解。

因而，仅引进2次根式，即可解得没有-1高于2次根式的，仅由实数、虚数或复数表达的，任意n次不可约代数方程的公式解。

伽罗华 [2][3]，虽然推断得出：方程根式解的变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，不能大于4，而实际上，任意n次不可约方程，都可逐次不引进大于2次的根式，而解得根式解，虽都确能满足不大于伽罗华得出的最大指数，却并不能以其，作为任意n次不可约方程是否有解的“判据”。

任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数的限制，而且，实际上，也可以，仅逐次引进2次根式，就得到任意n次不可约代数方程到公式解。

这不仅具体解决了许多实际问题和理论工作，因没有相应方程的公式解，而造成许多限制和不便，而且，会对代数方程，乃至各种数学方程及其解，和各种数学问题产生革命性的发展（都将分别另文具体讨论）。

   特别是，高次的偶数次，和奇数次方程均可交替地简化为较低次方程而得解，的方法和规律，已显示出，区分偶数和奇数在求解方程方面的的重要作用，以后，在研讨、发展数论和解析数论等问题中，还会进一步看到它的重要作用。

由于，也只有，解决了任意n次方程，都能得公式解，所有的无理数，就都能，也才能，由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。

5．参考文献：

[1]数学百科全书编委（顾问）苏步青等（主任）王元等科学出版社 1994

[2]Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980

[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg  1955-1959