关于“数学”的对话（140）任意n次不可约代数方程的根式解(8)

6次不可约代数方程的根式解

 

（接（139））

 

乙：当m=3; n=6, (1)式 即方程：

x^6+{aj x^j, j=0到5求和}=0,                                    (14)

甲:这也是通常认为不能得到根式解的啊!

乙:那么,究竟能不能呢?

甲：可以类似于4次方程的解法，看看!即:可引入1个函数y，试将6次方程表达为两个3次方程，分别求解。

乙：哦！这就可以引入1个函数y，并取(x^3+a5x^2/2+a4x/2+y/2)^2

= x^6+a5x^5+((a5/2)^2 +a4)x^4+(a5a4/2+y)x^3+((a4/2)^2 +a5y/2)x^2+a4y/2x +(y/2)^2

甲：这样，原方程就可改写为：

(x^3+a5x^2/2+a4x/2+y/2)^2

=(a5/2)^2 x^4+(y+a5a4/2-a3)x^3+((a4/2)^2 +a5y/2-a2)x^2+(a4y/2-a1)x+(y^2/4-a0),

乙：设上式右边成为x函数的完全平方：

(a5/2)^2x^4+ (y+a5a4/2-a3)x^3+((a4/2)^2 +a5y/2-a2)x^2+(a4y/2-a1)x+(y^2/4-a0)

=(c2x^2+c1x+c0)^2 =c2^2x^4+2c2c1x^3+(c1^2+2c2c0)x^2+2c1c0x+ ^2，

甲：由方程两边x各幂的等式，就有：

c2=a5/2，  2c2c1=y+a5a4/2-a3，  c1^2+2c2c0=(a4/2)^2 +a5y/2-a2，

2c1c0=a4y/2-a1，  c0^2=y^2/4-a0，

由第1式，得：c2 =a5/2，由第5式，得：c0 = (y^2/4-a0)^(1/2)，

由第1，2式，得：c1=(y+a5a4/2-a3)/a5，

乙：由2c1c0=2(y+a5a4/2-a3)(y^2/4-a0)^(1/2)=y+a5a4/2-a3，

即得如下y的4次方程：

 (y^4+(a5a4-2a3)y^3+((a5a4/2-a3)^2-4a0-1)y^2

-(4a0+1)(a5a4-2a3)y-(a0+4)(a5a4/2-a3)^2) =0,

甲：原方程就成为如下x的两个3次方程：

x^3+a5x^2+(a4/2+(y+a5a4/2-a3)/a5)x+(y/2+(y^2/4-a0)^(1/2))=0；

x^3+a5x^2-(a4/2+(y+a5a4/2-a3)/a5)x+(y/2-(y^2/4-a0)^(1/2))=0，

乙：这样，以4次y方程相应的解，分别代入以上两个3次x方程，并求解它们，即得：6次不可约代数方程的6个根式解。

甲：其中，除了，解4次y方程，两个3次x方程时，都分别引入了2次、3次的根式外，也没有更高次的根式。

 

 

（未完待续）

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