关于“数学”的对话（137）任意n次不可约代数方程的根式解(5)

3次不可约代数方程的根式解

（接（136））

 

乙：当n=3, 即方程：

x^3+a2x^2+a1x+a0=0,                                       (6)

甲：这3次的x方程有3个根x1，x2，x3，且有：

-(x1+x2+x3)=a2, x1x2+x2x3+x3x1=a1, -x1x2x3=a0,

乙：是或也可像2次方程那样，直接利用方程的根与系数的关系式求解呢？

甲：不能！因为当消去两个根后得到另1个根的方程却是更高次的方程而无法得解。

乙：那该怎样求解呢？

甲：对它的解法就是：利用x^2+x+1=0,的2个根，

w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2,

并引进两个参量z1，z2，将y的3个根由w1，w2，分别表达为：

y0=z1+z2，y1=w1z1+w2z2，y2=w2z1+w1z2，

乙：这就可利用方程的根与系数的关系建立起两个参量z1，z2的方程求解了。

甲：是的！但是，由于有w1+w2+1=0，的特点，就还需将原方程变换为其中第2项的系数=0。

乙：这容易由令：y=x+a2/3,  x=y-a2/3代入 原方程，做到。即得：

y^3+b1y+b0=0,  其中：

b1=a1-a2^2/3, b0=a0-a2a1/3+2a2^3/27,

甲：这就正是可以仅引进两个参量z1，z2，表达方程3个根，并利用方程的根与系数的关系建立起两个参量z1，z2的两个方程求解的实际原因。

乙；这样，由方程的根与系数的关系，就有：

-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2)=-(z1+z2)(1+w1+w2)=0, (因1+w1+w2=0)

b1= (z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)

= w1z1^2+ w2z1z2+w1z1z2+ w2z2^2

+w1w2z1^2+w1^2z1z2+w2^2z1z2+w1w2z2^2

+w2z1^2+w2z1z2+w1z1z2+w1z2^2

=(w1+w2+w1w2)z1^2+(2w2+2w1+w1^2+w2^2)z1z2+(w1+w2+ w1w2)z2^2

=-3z1z2,

即：z2=-b1/(3z1),                                               (1’)

b0=-(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)

=-(w1w2z1^3+w1^2z1^2z2+w2^2z1^2z2+w1w2z1z2^2

+ w1w2z1^2z2+w1^2z1z2^2+w2^2z1z2^2+w1w2z2^3)

=-(z1^3+z2^3),

即：z1^3+z2^3=-b0,                                            (2’)

甲：联立(1’) (2’)，解得：z1^6 +b0z1^3-(b1/3)^3 =0,

z1^3=(-b0+(b0^2+4(b1/3)^3)^(1/2))/2

=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2),

z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),                       

乙：于是，解得任意的3次y方程的解：

y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，

甲：而原任意的3次x方程的解为：

xj=yj-a2/3; j=0,1,2,

这就是3次不可约代数方程的根式解。

 

（未完待续）

 

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