关于“数学”的对话（113）关于“费马大定律”的科普对话（9）

（接（112））

 

甲：关于p等于2，我国古代反映直角3角形3个边关系的 “勾三股四弦五”， 就早已给出了它的一个整数解。

乙：这实际上，就发展为勾^2+股^2=弦^2，的普遍表达式，正是我国对有关数学问题最早的一大贡献。其中勾、股、弦都是正整数（当然，也可不必是正整数也成立。即所谓“毕达格拉斯定律”，但此处仅讨论正整数）。

甲：还可如下地严格证明：

当p等于2，则(5) (6)分别为：

(g[1](n) +或-g[2](n))^2= (g[1](n))^2+或-2g[1](n) g[2](n)+(g[2](n))^2   (10)

(g[1](n)+g[2](n))^2-(g[1](n)-g[2](n))^2= 4g[1](n) g[2](n),             (11)

当取g[1](n)= (k[1](n)); g[2](n) = (k[2](n))^2,                   (12)

k[1](n)、k[2](n)也分别都是正整数n的正整数函数，并取m为大于0的正整数，m((k[1](n))^2>(k[2](n))^2),则有：

(m((k[1](n))^2-(k[2](n))^2))^2+(2mk[1](n)k[2](n))^2

=(m((k[1](n))^2+(k[2](n))^2))^2，                              (13)

当p等于2，则(7)为：

(m(2g(n) +或-1))^2= m^2((2g(n))^2+或-4g(n)+1)，                  (14)

当取：(m((2g(n))^2/2+或-2g(n)+1))的2次方，即得：

(m(2g(n) +或-1))^2+(m((2g(n))^2/2+或-2g(n)))^2

=(m((2g(n))^2/2+或-2g(n)+1))^2                              (15)

(13)和(15)就都是：

f[1](n) ^2+f[2](n) ^2=f[3](n) ^2,                                 (16)

它们都涵盖了所有的奇、偶数。对于(13)，(k[1](n))^2-(k[2](n))^2可以由节1。一样地解释为：表达了正整数函数所有可能的形式，

对于(15)，(2g(n) 1)表达了正奇数函数所有可能的形式；再乘以可为奇或偶数的m，就也表达了正整数函数所有可能的形式。而且，再没有其它不同的形式。

(13)和(15)各式中，选取m、n及各正整数函数中的各不同参量，即可得到相应不同的各种表达式和数组，这些参量都可有无穷多种取法，因而，满足(13)和(15)各式的各种表达式和数组的种类可至无穷多。但是，它们都只是(13)和(15)各式在各给定条件下的特例！

（待续）

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