矢量运算，唯物辩证地，从3维空间发展为4维时空，到多维时空(8)

各维时空粒子运动的几何特性

    (1)平直坐标；

各维时空位置(或 距离、长度)r(4s)[X线矢]，实际上，都是一定维数(s)的，1个i(虚s)时轴分量和3个(实s)空间分量，组成：

r(4s)[X线矢]={ir(s)0[0矢]+r(s)j[j矢],j=1到3求和}

={ir(s)0[0矢]+r(s)(3)[(3)矢]}，

其3维空间分量：

r(s)(3)[(3)矢]={r(s)j[j矢],j=1到3求和}，

对于空间部分，都有2维呈椭圆(特例是圆)和3维呈椭球(特例是球)，的几何特性。

    各时间分量，就都是时轴与空间轴呈，红移与蓝移交替，的双曲线几何特性。

1维空间矢量：直线

位置r(1)[标量]=r1，1个变量：r1，

r(1)=r1，

2维空间矢量：

位置r(2)[1线矢]=r1[r1基矢]+r2[r2基矢],  2个变量：r1、r2，

r(2)=(r1^2+r2^2}^(1/2)，可表达为：

(x1/a)^2+(x2/b)^2=1，a、b，分别为长、短，半轴，的椭圆轨迹。

3维空间矢量：

位置r(3)[1线矢]=r1[1基矢]+r2[2基矢]+r3[3基矢]，

3个变量：r1、r2、r3，

r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2}^(1/2)，可表达为：

(x1/a)^2+(x2/b)^2+(x3/c)^2=1，a、b、c，分别为1、2、3，半轴，的椭球轨迹。

      (2)曲线坐标：

1维空间矢量：

位置r(1)[1线矢]=r [r基矢]，与平直坐标相同，仅1个变量：r。

r(1)=r，

dr(1)[1线矢]=dr [r基矢]，

dr(1) =dr，

   当r不变，积分为圆周长=2πr。

2维空间矢量：

位置r(2)[1线矢]=(r(2)cosθ)[r基矢]+ (r(2)sinθ)[θ基矢],

2个变量：r、θ，

r(2)={(rcosθ)^2+(rsinθ)^2}^(1/2)，可表达为：

(rcosθ/a)^2+(rsinθ/b)^2=1，a、b，分别为长、短，半轴，的椭圆轨迹。

dr(2)[1线矢]=(drcosθ)[r基矢]+(rcosθdθ)[θ基矢],

dr(2)={(drcosθ)^2+(rsinθdθ)^2}^(1/2)，

当θ由0积分到π，r由a变到b；θ由π积分到2π，r由b变到a，积分为椭圆周长=2π(a+b)，

  当r不变(a=b)，积分为圆周长=2πr，

  相应椭圆的微分面积：

dr{rcosθsinθ(dθ/dr)}

  当θ由0积分到π，r^2由a^2变到b^2；θ由π积分到2π，r^2由b^2变到a^2，积分为椭圆面积=2π(a^2+b^2)，

当r不变(a=b)，积分为圆面积=πr^2，

3维空间矢量：

位置r(3)[1线矢]=rcosθ[1基矢]+rsinθcosφ[2基矢]

+rsinθsinφ[3基矢]，

r(3)={(rcosθ)^2+(rsinθcosφ)^2+(rsinθsinφ)^2}^(1/2)，可表达为：

(rcosθ/a)^2+(rsinθ/b)^2+(rsinθsinφ/c)^2=1，a、b、c，分别为3个半轴，椭球上椭圆的轨迹。

dr(3)[1线矢]=((drcosθ)[1基矢]+(rcosθdθcosφ)[2基矢]

+(rsinθcosφdφ)[3基矢]，

dr(3) ={(drcosθ)^2+(rcosθdθcosφ)^2+(rsinθcosφdφ)^2}^(1/2)

=dr{(cosθ)^2+(rcosφcosθdθ/dr)^2+(rsinθcosφdφ/dr)^2}^(1/2)，

当θ由0积分到π，r由a变到b；θ由π积分到2π，r由b变到a，φ由0积分到π，r由a+b变到c；φ由π积分到2π，r由c变到a+b积分为椭圆周长=2π(a+b+c)，

  当r不变(a=b=c)，积分为相应的圆弧，圆周长=2πr，

 相应椭球各维的微分面积，分别为：

2π(a^2+b^2)、2π(b^2+c^2)、2π(a^2+c^2)

相应椭球的微分体积：

dr{r^2cosθ^2sinθ(dθ/dr) cosφ^2dφ/dr }

当θ由0积分到π，r^3由a^3变到b^3；θ由π积分到2π，r^3由b^3变到a^3，φ由0积分到π，r[^3由a^3+b^3变到c^3；φ由π积分到2π，r^3由c^3变到a^3+b^3积分为椭球体积=3π(a^3+b^3)/4，

    当r不变(a=b=c)，积分为圆球体积=3πr^3/4，

这正是任何2个物体的封闭系统，在相应各力作用下，都是围绕其质量中心或电荷中心，作椭圆，特例为圆，的空间轨迹运动，例如：各行星与相应恒星的运动轨迹、氢原子与其电子的运动轨迹；任何3个以上物体的封闭系统，在相应力作用下，都是围绕其质量中心或电荷中心作椭球，特例为圆球，的空间轨迹运动，例如：各行星与相应的卫星、恒星的运动轨迹、各原子与其各电子的运动轨迹，的根本原因。

4维空间矢量：

平直坐标：

位置r(4)[1线矢]=ir0[0基矢]+r(3)[(3)基矢]，i是虚数符，2个变量：r0、r(3)，

    r0=vt， v是传播子速度，t是传播子经历的时间，当传播子是光子或声子，vt=(c t光或a*t声)， c或a*是所在介质中的光速或声速，t光或a*t声，分别是光或声经历的时间，(下同)

   其3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，可分别有如前的1、2、3，维情况。

r(4)={-r0^2+r(3)^2}^(1/2)，r0=vt，可表达为：

{(r(3)/a)^2-(vt/b)^2=1，a、b，分别为长、短，半轴的双曲线。

曲线坐标：曲时空 

如下图，表达为：

r(4)[1线矢]=ircosψ[0基矢]+(rsinψcosθ)[1基矢]

+(rsinψsinθcosφ)[2基矢]+(rsinψsinθsinφ)[3基矢]，

r(4)^2=-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2=-(vt)^2+x^2+y^2+z^2

 =-(rcosψ)^2+(rsinψcosθ)^2+(rsinψsinθcosφ)^2

+(rsinψsinθsinφ)^2，

                                                                         T=iVT，t=ivt，

dr(4)[1线矢]=(idrcosψ)[0基矢]+(rcosψdψcosθ)[1基矢]

+(rsinψcosθdθcosφ)[2基矢]+(rsinψsinθcosφdφ)[3基矢]，

dr(4)={-(drcosψ)^2+(rcosψdψcosθ)^2+(rsinψcosθdθcosφ)^2

+(rsinψsinθcosφdφ)^2}^(1/2)，

    各高维的位置矢量，其中，奇数次时维，作为时间轴，偶数次时维，作为空间轴，处理。

各维的速度矢量，都只是各维位置矢量的时间导数，以上各种情况，都仅需将各维位置矢量换为各维 速度矢量，即成。

各维的动量矢量，都只是各维 速度矢量乘质量。

各维的时空动量矢量：电中性和带电，粒子都有相应的静止质量与运动质量；各种传播子的静止质量=0，其运动质量和动量都需由其能量hν(传播子)与速度v (传播子)表达，光子或声子分别是一种传播子，其静止质量m0=0，其运动质量和动量都需由其能量hν(光子或声子)与速度(光子c或声子a*)表达。

  (未完待续)