4维时空可变系多线矢的建立

为了具体反映非惯性(各牵引运动系之间存在相互作用力)牵引运动系的时空弯曲特性，并能表达相应的矢量和进行矢算，本理论体系创建了4维时空1线矢可变基矢系，并按相应的矢算，导出各种多线矢可变基矢系。

1.     创建可变基矢系

首先，选定参考系原点A处，1线矢的不变基矢系，[不变基矢系A]。于是，在该参考(包括非惯性牵引运动)系内其它任何一点X处的可变1线基矢系,

[可变基矢系X] =[矩阵C(XA)] [不变基矢系A]; 并有：

[不变基矢系A]= [矩阵C(AX)] [可变基矢系X], 即：

[基矢X(x)]=[C(XA(xa)) [基矢A(a)],a=0到3], x=0,1,2,3；

[基矢A(a)]=[C(AX (ax)) [基矢X(x)],x=0到3], a=0,1,2,3，

  C(XA(xa))、C(AX (ax))分别是1线矢矩阵[矩阵C(XA)]、[矩阵C(AX)]的各相应正交归一矩阵元，它们都是两参考系间牵引位置1-线矢各方向余弦的函数。并有：

[C(XA(xa)) C(AX (ax’)),a=0到3求和]=1(x=x’); =0(x x’)。

[矩阵C(XA)]，[矩阵C(AX)]互为转置逆矩阵，具体表达[可变基矢系X]与[不变基矢系A]间的偏转情况。

2．时空可变系推广到任意n维的多线矢

[可变基矢系(X)] =[矩阵C((X)(A))] [不变基矢系(A)]; 并有：

[不变基矢系(A)]= [矩阵C((A)(X))] [可变基矢系(X)], 即：

[基矢(X)((x))]=[C((X)(A)((x)(a)))[基矢(A)((a))],(a)=(a)1到(a)n], (x)=(x)1到(x)n；

[基矢(A)((a))]=[C((A)(X)((a)(x))) [基矢(X)((x))], (x)=(x)1到(x)n], (a)=(a)1到(a)n，

  C((X)(A)((x)(a))), C((A)(X) ((a)(x)))分别是n维多线矢矩阵[矩阵C((X)(A))]，[矩阵C((A)(X))]的各相应矩阵元，它们都是两参考系间的偏转情况。并有：

[C((X)(A)((x)(a))) C((A)(X) ((a)(x’))), (a)=(a)1到(a)n求和]=1((x)=(x’));

=0((x)不=(x’))。

[矩阵C(XA)]，[矩阵C(AX)]互为转置逆矩阵，具体表达[可变基矢系X]、[不变基矢系A]间的偏转情况。

[矢(A)((X))] =[(A)((X),(x))[[基矢(X)((x))], (x)=(x)1到(x)n求和]

=[矢(A)((A))]=[(A)((A),(a))[[基矢(A)((a))], (a)=(a)1到(a)n求和],

(A)((X),(x))=[C((X)(A),(x)(a))(A)((A),(a)), (a)=(a)1到(a)n求和], (x)=(x)1到(x)n,

(A)((A),(a))=[C((A)(X),(( a)(x))(A)((X),(x)), (x)=(x)1到(x)n求和], (a)=(a)1到(a)n,

3．[不变基矢系A]、[可变基矢系B]的有关4维时空1线矢

[牵引位置1-线矢r(XA)] =[r(XA,a)[基矢A(a) ],a=0到3求和,

   其模长：

r(XA)=[r(XA,a)^2, a=0到3求和] ^(1/2)，r(XA,0)=ict(A),

  所在介质中的光速：c=c0n光，c0=真空中的光速，n光=所在介质的折射率。

[可牵引位置1-线矢r(XA)]方向余弦各分量为：r(XA,a)/ r(XA), a=0, 1, 2,3,

[可变系任意矢A(X,x)] =[A(X,x)[[基矢X(x)],x=0到3求和]，

  可变系和不变系，任意矢模长有如下关系：

A(X,x)=[C(XA,xa)A(A,a), a=0到3求和], x=0,1,2,3,

A(A,a)=[C(AX, ax)A(X,x), x=0到3求和], a=0,1,2,3,

可变系位置1-线矢[矢r(X)] =[r(X,x)[[基矢X(x)],x=0到3求和]

r(X,x)=[C(XA,xa)r(A,a), a=0到3求和], x=0,1,2,3,

r(A,a)=[C(AX, ax)r(X,x), x=0到3求和], a=0,1,2,3,

r(X,0)= i ct(X), r(A,0) = i ct(A) , i=(-1)^(1/2),

4．4维时空1线矢的微分、时间导数、偏微分 (注意不变系与可变系的区别！)

各不变多线基矢[基矢(A)((a))]的微分、时间导数、偏微分均=0。

   对于可变基矢系：

1线基矢：

d[基矢X(x)] =[dC(XA,xa) [基矢A(a)],a=0到3求和]

=[dl(A,a’)(偏分l(A,a’)C(XA,xa))[基矢A(a’)],a,a’=0到3求和]

=-[dl(A,a’)w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], a’,x’=0到3求和] x=0,1,2,3,

w(Ax’,xa’)=[(偏分l(A,a’)C(XA,xa))C(AX, ax’) a=0到3求和]，是时空联络系数(Riemann-Christoffel符号)因而，具体表达了弯曲时空的基本特性。并有：

[(dC(XA,xa))C(AX, ax’) + C(XA,xa)(d C(AX, ax’)) a=0到3求和] =0。

(偏分l(A,a’)[基矢X(x)])=[ w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], x’=0到3求和], x=0,1,2,3, w(Ax’,xa’)=- w(Ax,x’a’),

   偏分符：

偏分(X)=[偏分/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],

[矢r(X)]的偏分1线矢：

偏分[矢r(X)]=[偏分r(X)/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],

微分r(X)1线矢：

d(X)[矢r(X)] = d(X)r(X) [偏分r(X)/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],

   微分符：

d(X)=d[r(X)][偏分矢r(X)]

=dr((X)X) [偏分/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],

   微分U标量：

d(X)U=[d(X)r(X,)(偏分U/偏分r(X,x), x=0到3求和],

   时间导数符：

d(A)/d(A)t(A)，

[矢v(A)]=d(A)[矢r(A)]/d(A)t(A)=[(d(A)r(A,a)/d(A)t(A))[基矢A(a)],a=0到3求和]，

d(X)/d(X) t(X)，

[矢v(X)]= d(X) [矢r(X)]/d(X)t(X)= [(d(X)r(X,x)/d(X)t(X))[基矢X(x)],x=0到3求和],  

v(A,a)=r(A,a)时间导数=d(A)r(A,a) /d(A)t(A);a=0,1,2,3,

v(A,0)=r(A,0)时间导数=d(A) r (A,0) /d(A)t(A)=ic(0)n光t (A),

c(0)=真空中光速，n光=所在介质的折射率

v(X,x)=r(X,x)时间导数=d(X)r(X,x)/d(X)t(X)

=(d(A)t(A)/d(X)t(X))[C(A(l(A)时间导数)xa(d(A)r(A,a)/d(A)t(A)),a=0到3求和];  x=0,1,2,3,  

5，2线可变基矢的微分、偏微分：

d[基矢X(xy)]= (d[基矢X(x)])[基矢X(y)] + [基矢X(x)]d [基矢X(y)])

=[dl(A,a’)(w(Ax’,xa’)[基矢X(x’y)]

+w(Ay’,ya’)[基矢X(xy’)]),a’,x’,y’=0到3求和]。

d[基矢X(xy)]/dt(X)

=[(dt(A)/dt(X))dl(A,a’)/dt(A)

(w(Ax’,xa’)[基矢X(x’y)]+w(Ay’,ya’)[基矢X(xy’)])

,a’,x’,y’=0到3求和]。

  …  …   …

6．类推导出其它高次、线多线矢的各黎曼时空解析物理量

   类似地，可类推导出其它的高次、线多线矢的微分、时间导数、偏微分，和相应各种积分，以及各矢量场的梯度*（[偏分矢r(X)] U(X)）、散度（[偏分矢r(X)]点乘[矢(A(X))]）、旋度（[偏分矢r(X)]叉乘[矢(A(X))]）等等物理量。以及黎曼时空的度规张量、曲率张量等表达式。

本文创建的由变换矩阵，[矩阵C(A(l(A)时间导数)]导出的，是普适于非惯性牵引运动系或Reimann时空的矢量结果。

狭义相对论通常所采用的只是其在惯性牵引运动系或Euclid时空，且运动仅限于在[基矢01] 2-维时空的简化特例。

   广义相对论只是放弃矢量，直接用曲线坐标表达粒子的位置，利用黎曼时空“度规张量”的各“元”作为参量，类比由库伦(Coulomb)静电定律转变到马克斯威尔(Maxwell)方程组的变换规律，建立相应的运动方程，而由牛顿(Newton)引力定律转变为爱因斯坦(Einstein)引力场方程。仅限用于引力，且因场方程混入了电磁场产生“波”的特性，而造成流行观点，仍然认为存在“引力波”这种爱因斯坦早就指出，但因，放弃矢量，而未能证明的，“多余东西”。

7．惯性牵引运动系的具体条件(全部dk(A,a)/dt(A)=0; a=1,2,3)

由dk(A,a)/dt(A)=dl(AX,a)/dt(A)/(ct(AX))- l(AX,a)/(c t(AX)^2)=0; 即可具体表明、判定：可变系牵引运动系是惯性的 (平直时空) 或非惯性的 (弯曲时空)。

4维时空平直坐标：

dl(AX,a)/dt(AX)=l(AX,a)/t(AX);

(d^2)l(AX,a)/(dt(AX))^2=dl(AX,a)/dt(AX)/t(AX)-dl(AX,a)/dt(AX)/t(AX)^2=0;a=1,2,3,

即：沿各牵引运动轴均无加速度。

4维时空球面坐标：

dk(A,1)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)c(AX,l1)d角(AX,l0)/dt(AX)

-s(AX,l0)s(AX,l1)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;即：

dk(A,2)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)c(AX,l2)d角(AX,l0)/dt(AX)

+s(AX,l0)c(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)

-s(AX,l0)s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;

dk(A,3)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l0)/dt(AX)

+s(AX,l0)c(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)

+s(AX,l0)s(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;

d角(AX,la)/dt(AX)=0; a=0,1,2,

即：环绕各牵引运动轴均无转动加速度。

3维空间球面坐标：

dk(A,1)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))c(AX,l1)/(ct(AX))

-l(AX,(3))s(AX,l1)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))=0

dk(A,2)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))s(AX,l1)/(ct(AX))

-l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)/(ct(AX))

+l(AX,(3))c(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))

-l(AX,(3))s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/(ct(AX))=0;  dk(A,3)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))s(AX,l1)s(AX,l2)/(ct(AX))

-l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)/(ct(AX))

+l(AX,(3))c(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))

+l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/(ct(AX))=0;  即

(d^2)l(AX,(3))/(dt(AX))^2=dl(AX,(3))/dt(AX)/t(AX)-l(AX,(3))/t(AX)^2=0;

d角(AX,la)/dt(AX)=0; a=1,2,

即：各牵引运动轴，均无转动加速度。

以上惯性牵引运动的3种具体条件都有：

全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0；x,x’,a=0,1,2,3, 表明：在这些条件下，时空都是Euclid型的；或在Euclid 时空，

即全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0；x,x’,a=0,1,2,3,

则相应的牵引运动也必为惯性的。

3者彼此相当：

惯性牵引运动系，或Euclid 时空，或全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0 ,