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[转载]通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解

已有 759 次阅读 2021-9-12 16:48 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q(p,q互质)’是‘√2不是有理数’的反论题?》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》、《√2不是有理数的两个广为流传的无效证明》等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。昨天杨六省老师又寄来“通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解”新作,邀请转载,因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展学术讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解

杨六省

Email: Yangls728@163.com 

反证法是一种常用的重要的证明方法,初中数学课本就已开始介绍和应用它。

关于反证法,《逻辑学大辞典》( 彭漪涟,马钦荣/上海辞书出版社,2004年,第1版)第375页写的很是简明:通过确定与论题相矛盾的命题(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的间接论证。反证法的论证过程是:

    论题:φ

    设立反论题:非φ

    确定反论题非φ

    根据排中律,非φ假,所以,φ真。

笔者认为,“反论题假则原论题真”是反证法的灵魂,也是检验反证法是否被正确应用的试金石。把握好这个灵魂需要做到两点:一是反论题的设定正确;二是推理正确,二者缺一不可。但是,用举反例的方法来讲授反证法上述两个要点的资料似乎并不多见。为了弥补这一缺陷,使关于反证法的教学更加具体充实,更具说服力,特写此文。就以毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明作为反面教材吧。

质疑1:毕达哥拉斯学派把√2=p/qpq互质)设定为√2不是有理数的反论题,合理吗?

在反证法中,反论题的设定务必满足“反论题假则原论题真”。原论题√2不是有理数的表达式是√2=p/qpq不全是整数),毕达哥拉斯学派√2=p/qpq互质)设定为反论题,合理吗?众所周知√2不是有理数(说明:笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系,所以,笔者在说理中有理由把“√2不是有理数”作为论据加以应用),所以,√2=p/q中的pq不全是整数。这样说来,谈论√2=p/q中的pq是否互质以及√2=p/qpq互质)是真是假就是没有意义的(注:讨论√2=p/qpq不全是整数)的真假是有意义的)。基于所设定的所谓反论题√2=p/qpq互质)无真假可言,从而无法套用反证法,故毕达哥拉斯学派把√2=p/qpq互质)设定为“√2不是有理数”的反论题是错误的。退一步讲,就算依了论证者的错误认知(注:论证者认为,√2=p/qpq互质)为真是指式中的pq互质,√2=p/qpq互质)为假是指式中的pq不互质),结论也是一样的。理由是,互质概念及其真假都是针对两个整数而言的,所以,“pq互质”为假本身就蕴涵着“pq全是整数”之意;另一方面,原论题√2=p/qpq不全是整数)为真表明“pq不全是整数”,这与前一结论不相容,这说明就我们所讨论的问题而言,“反论题假则原论题真”不成立。

也许有人会辩解说,“√2不是有理数”的反论题确实应该是√2=p/qpq全是整数)。但是,由√2=p/qpq全是整数)可以推出√2=p/qpq互质)呀!

质疑2:√2=p/qpq全是整数)能推出√2=p/qpq互质)吗?

笔者的反驳意见是:若真能推出,那么,其逆否命题就是“后者假则前者假”。但是,由pq不互质是推不出pq不全是整数的。

那么,由√2=p/qpq全是整数)到√2=p/qpq互质)的推理,问题究竟出在什么地方呢?我们来看一下人们是怎样推理的:假设√2是有理数,而有理数总可以写成最简分数的形式,所以,“假设√2是有理数”也即“假设√2=p/qpq互质)”。事实上,当人们说“假设√2是有理数”时,指的是“假设√2=p/qpq全是整数)”;而当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时,实际上是针对一个独立存在的分数而言的。但是,人们表述中的分数“p/qpq全是整数)”并非独立存在,因为它处于“√2=p/qpq全是整数)”之中,尤其是,“√2=p/qpq全是整数)”还是一个矛盾式呢!简言之,对于一个处于矛盾关系中的分数表达式,我们对其实施最简分数化,这种做法是否合理是应当受到质疑的。事实上,上一段落中的证明结论已对此处的质疑作出了裁决。

质疑3:√2=p/qpq全是整数)能推出pq都是偶数吗?

答案是否定的(理由参见下文“本文作者关于√2不是有理数的证明”)。

质疑4:pq都是偶数与假设pq互质矛盾,够说明√2不是有理数吗?

    人教版数学课本在证明的末尾写道——“pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。”

笔者认为,由pq都是偶数(注:姑且不论获得此结论的推理是否有效)与假设pq互质矛盾,只能否定假设“pq互质”,而不能说明√2不是有理数,因为由pq不互质是推不出pq不全是整数的。

综上所述,不难看出,毕达哥拉斯学派在关于√2不是有理数的证明中,反论题的设定是错误的,整个的推理也是错误的,故其证明是无效的(顺便说明一下,我们所看到的,人们关于√3等是无理数的证明也是无效的。笔者认为,要用反证法证明√2√3等是无理数,推出的矛盾应该是涉及无限的矛盾,而这种矛盾与整数概念不相容)。

不要以为,两个论题之间只要表面上存在矛盾(注:这里是指√2=p/qpq互质)中的“互质”表示pq全是整数,而√2=p/qpq不全是整数)表示pq不全是整数),它们就是互为矛盾论题。金岳霖在其主编的《形式逻辑》(人民出版社,1979年第1版)291写道只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。(笔者注:矛盾论题即反论题)矛盾判断是指,其中一个真则另一个假,一个假则另一个真,二者不能同真,也不能同假简言之,矛盾判断务必满足排中律。但是,由上文“质疑1”可知,√2=p/qpq互质)与√2=p/qpq不全是整数)不是矛盾判断,因为前者根本就无真假可言;再说,就算依了论证者的错误认知,二者却可以同假,理由是,√2=p/qpq互质)为假时,pq不互质,但pq仍都是整数,而当pq都是整数时,√2=p/qpq不全是整数)为假。

关于反证法,存在着一种糊涂观点,例如,网上有人说——在反证法中的假定下,不管推出任何的矛盾命题都行,哪怕这种命题,并不能直接否定反论题,或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则,严格地推出的是相互矛盾的任何命题,就可推翻假定,而使定理得证。”笔者的反驳意见是:如果推出的矛盾不能否定反论题,不能确立原论题,那么,应用反证法何用?如果反论题的设定正确,运用的又是正确的推理规则,推出的矛盾又怎么会不能否定反论题,不能确立原论题呢?难道反证法是不一致的?这怎么可能呢?反证法可是一种不容置疑的科学方法呀!它怎么可能会内含矛盾呢?这只能说明持上述观点的人所说的“运用的是正确的推理规则”和“严格地推出”,都是他自认为真的,其实是假的。

 

附:

(1)人教版《数学》课本七年级下册第58页中的证明

假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

√2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2.

    2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.

(2)本文作者关于√2不是有理数的证明

命题:对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式。

p不可能是偶数

假设p是偶数,p=2rr是整数),代入p2=2q2,得q2 =2r2 。如果p2=2q2q是整数)中的p是偶数,那么,q2 =2r2r是整数)中的q也是偶数;……这样下去,就会推出pq均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t;……),从而说明pq均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是偶数。

p不可能是奇数

理由是,奇数的平方不可能是偶数。

综上所述,对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q而言 ,其中的pq不可能全是整数。



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