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[转载]杨六省:数学界现代版指鹿为马

已有 857 次阅读 2021-5-8 19:53 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。今天杨六省老师又寄来数学界现代版指鹿为马——√2= p/qpq互质)是‘√2不是有理数的反论题?”邀请转载,因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

数学界现代版指鹿为马

——√2= p/qpq互质)”是“√2不是有理数”的反论题?

杨六省

yangls728@163.com

 

    笔者于2017-01-01在“数学中国论坛”上发过一个帖子,题目叫“质疑第一次数学危机的真相”,内容是质疑毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的有效性。这个观点后来一直没有变化,只是在说理的表述方面不断改进。

    上海某知名大学一位博士生导师202010月份回复笔者,“如果您想就此问题得到更好的评判,可投《国际数学史杂志》或国内其他期刊”,并表示,“会在研究生班上研讨您的大作。”西安也有一位博士生导师表示,打算在他的研究生班上讨论笔者的观点。

    早年毕业于北师大的司全印先生认为,笔者文中的观点将“长存不朽”。

    当然,从网上也看到了不同意见,但都容易给出解释。然而,也有个别观点,就显得特别不靠谱,表明评论者对反证法的内涵及其所依据的逻辑原理几乎没有概念,例如,有位先生评论道,“杨六省先生没有认识到,在反证法中的假定下,不管推出任何的矛盾命题都行,哪怕这种命题,并不能直接否定反论题,或确立原论题。” 说“不管推出任何的矛盾命题都行”,是这样吗?好吧,我们就来看反例。pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾”,此矛盾表明,假设条件“pq互质”虚假,根据排中律,“pq非互质”为真,但“非互质”概念是针对两个整数而言的,天哪!我们这不是在证明“√2是有理数”吗?多荒唐呀!再说,说“在反证法中的假定下,不管推出任何的矛盾命题都行,哪怕这种命题,并不能直接否定反论题,或确立原论题”,那么请问,“不能直接否定反论题”是什么意思?是指“能否定”,还是指“不能否定”?笔者猜想,是指后者,否则,何必应用“不能直接”这种闪烁其词的用语呢?但是,推出的矛盾“不能否定反论题”(注:就像上面举的那个反例),这还叫反证法吗?

    笔者曾将一些帖子发给有关人士和教研单位,征求批评意见,但少有回复。这使笔者想起了“指鹿为马”的典故,因为毕达哥拉斯学派、逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得等科学巨人的威名实在是太沉重了!然而,在笔者已经给出了具体的揭示之后,区分鹿与马,难道仍然困难吗?例如:

    ①√2=p/qpq互质)能作为√2不是有理数”的反论题吗?

    ②√2=p/qpq全是整数)能推出√2=p/qpq互质)吗?

    ③pq都是偶数与假设pq互质矛盾,能够说明√2不是有理数吗?

    在指鹿为马那个典故中,基于赵高的权势,说“鹿是鹿”,是会引来杀身之祸的!但在我们的讨论中,说“鹿不是马”(——“√2=p/qpq互质)”不是“√2不是有理数”的反论题),也会有杀身之祸吗?面对科学巨人的威名,我们到底丧失了什么?是判断力,还是承认真理的勇气?若是后者,我们岂不成了现代版的叶公好龙了吗?人性有弱点啊!即使是大名鼎鼎的大数学家高斯,也不例外,当他发现了非欧几何,仍然没有勇气公开发表,他自称“深恐愚人的叫嚣”。看来,保守势力是多么的强大和可怕啊!

    国家科技图书文献中心(NSTL)预印本2021-04-21发布了笔者的对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑(详见对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑.pdf

一文。为了说明上述3个问题的解答并不困难,区分鹿与马并不需要多么高的智商,笔者现将预印本文章中的有关部分摘录如下(这些观点在笔者过去的帖子中都能找到,但下面的表述更为洗练,对于这种重复请网友能予谅解):

    为了方便起见,本文采用人教版数学课本中所引用欧几里得《原本》中的证明方法。

    假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

√2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2. 

    2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.

    ……

    1点质疑,√2=p/qpq互质)能作为√2是有理数”的反论题吗? 

    所谓反证法是指,“通过确定与论题相矛盾的命题(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的间接论证。反证法的论证过程是: 

    论题:φ

    设立反论题:非φ

    确定反论题非φ

    根据排中律,非φ假,所以,φ真。

    “反论题假则原论题真”是反证法的灵魂。把握好这个灵魂需注意两点:一是反论题的设定正确;二是推理正确,二者缺一不可,否则,你将无法否定反论题,无法确立原论题。

    原论题√2不是有理数”的表达式是√2=p/qpq不全是整数),教科书√2=p/qpq互质)设定为反论题,这是正确的吗?互质概念及其真假都是针对两个整数而言的,所以,pq互质”为假本身就蕴涵着“pq全是整数”之意;另一方面,原论题√2=p/qpq不全是整数)为真表明pq不全是整数”,前后不相容,这说明就我们所讨论的问题而言,“反论题假则原论题真”不成立,故教科书√2=p/qpq互质)设定为反论题是错误的。

    2点质疑,√2=p/qpq全是整数)能推出√2=p/qpq互质)吗?

    如果由√2=p/qpq全是整数)能推出√2=p/qpq互质),那么,其逆否命题就是“后者假则前者假”,但由第1点质疑的分析可知,这会导致矛盾,故由√2=p/qpq全是整数)推不出√2=p/qpq互质)。

    那么,由√2=p/qpq全是整数)到√2=p/qpq互质)的推理,问题究竟出在什么地方呢?我们来看一下人们是怎样推理的:假设√2是有理数,而有理数总可以写成最简分数的形式,所以,“假设√2是有理数”也即“假设√2=p/qpq互质)”。事实上,当人们说“假设√2是有理数”时,指的是“假设√2=p/qpq全是整数)”;而当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时,实际上是针对一个独立存在的分数而言的。但是,人们表述中的分数“p/qpq全是整数)”并非独立存在,因为它处于“√2=p/qpq全是整数)”之中,尤其是,“√2=p/qpq全是整数)”还是一个矛盾式呢!(注:笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系,所以,笔者在说理中有理由把√2不是有理数”作为论据加以应用)简言之,对于一个处于矛盾关系中的分数表达式,我们对其实施最简分数化,这种做法是否合理难道不应该受到质疑吗?寻找答案的最好办法是运用一致性原则,因为是否满足一致性是检验真理的必要条件。事实上,上一段落中的证明结论已对此处的质疑作出了裁决。

    ……

    5点质疑,pq都是偶数与假设pq互质矛盾,够说明√2是有理数吗?

    人教版数学课本在证明的末尾写道——“pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数

    笔者认为,由pq都是偶数(注:姑且不论获得此结论的推理是否有效)与假设pq互质矛盾,只能否定√2=p/qpq互质),但不能确立√2=p/qpq不全是整数),因为由上文第1点质疑可知,√2=p/qpq互质)为假则√2=p/qpq不全是整数)为真是不可能的,因此,教科书末尾的说法是没有根据的,也是错误的。

    ……

    结束语:让笔者感到欣慰的是,真理和谬误都是一种客观存在,不以人的意志为转移,也就是说,真的假不了,假的真不了。陕北民歌歌词说得好——“树挡不住风”。真理不可能永远被淹没。笔者深信,总会有一天,人人都会承认:只有√2=p/qpq全是整数)”才是√2不是有理数”的反论题,而“√2=p/qpq互质”则不是,并会感叹道:哦,可不是嘛,原论题“√2不是有理数”怎么会存在两个实质不同的反论题呢!



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