说明：因杨六省老师之邀，现将其《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》一文转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

又一新的证据再次表明——

毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的

杨六省

yangls728@163.com

    笔者在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书中，有一个小标题是“毕达哥拉斯学派及后世关于√2不是有理数的证明，是有效的吗？”后来又在网上发了几个帖子，在道理的表述上有改进。此贴公布的观点，是笔者后来发现的。

    我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。下面的蕴涵关系很容易得到证明：对于形如p²=2q²（q是整数）的表达式，如果p是偶数，则假设条件蕴涵q也是偶数。对此蕴涵关系，有且只有如下两种观点：认可与拒斥。很显然，这两种观点是不相容的，这种不相容性还表现在：对于形如p²=2q²（q是整数）的表达式，关于上述蕴涵关系，若持拒斥的观点，则“q是整数”这一点不会改变；若持认可的观点，由下文“本文作者的证明”可知，可推出q含有无穷多个因数2，这说明q不可能是整数。

    需要说明的是，对于上述蕴涵关系，只进行有限次应用的做法，是不能被接受的，因为这会导致矛盾：同是形如p²=2q²（q是整数）的表达式，如果不是末尾的表达式，操作者对于上述蕴涵关系持认可的观点；但对于末尾的表达式，操作者却是持拒斥的观点，这种说法的依据是，前者的后面有形如p²=2q²（q是整数）的表达式紧随其后，但后者则无。

    现在我们就来揭示毕达哥拉斯学派的证明是无效的。基于表达式p²=2q²（q是整数）的后面紧跟着表达式q²=2s²（s 是整数)（见附1），这说明毕达哥拉斯学派对上述蕴涵关系是持认可的观点；但另一方面，由于表达式q²=2s²（s 是整数)的后面不再有形如p²=2q²（q是整数）的表达式紧随其后，这又说明毕达哥拉斯学派对上述蕴涵关系是持拒斥的观点。对于同是形如p²=2q²（q是整数）的表达式，关于上述蕴涵关系，既持认可的观点，又持拒斥的观点，这说明毕达哥拉斯学派在证明中应用了不相容的观点，这是违反一致性原则的，是有效推理所不允许的。

附1：人教版数学七年级下册第58页中的证明：

    假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

                                    √2=p/q，

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p²=2q².

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                     q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

 附2：本文作者的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q 而言，其中的p和q不可能全是整数。

说明：上述证明见拙著《悖论是什么——70个悖论的消解》，汉斯出版社，2020.6. 

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