基于粗粒化的双层关联网络疾病协同传播模型

这里介绍今年发表在 SIAM J. APPLIED DYNAMICAL SYSTEMS

WWCLC-2018SIAM.pdf

第2期的论文《Cooperative epidemic spreading on a two-layered interconnected network》，作者：韦相,吴晓群,陈士华,陆君安,陈关荣。

这项工作从三个不同的度分布粗粒尺度，研究两层关联网络疾病协同传播规律, 分析两层网络的结构和层间连接方式如何影响关联网络的传播阈值和最终感染规模。所谓两层关联网络中两层节点数可以不同，子网 A 有 N 个节点, 子网 B有 M 个节点，层间连接不一定是一对一，如图。

层间网络AB(BA)表示从A(B)到B(A)的层间网络。这里两层都采用经典的 SIS 模型，节点处于易感态(S)或者已感染态(I)。在疾病传播中，易感态节点能被同一层网络的已感染邻居传染，也可能被另一个层网络的已感染邻居传染。

1.  层间随机耦合的同质关联网络

这里按单层子网的平均度粗粒化。

第一式右边第一项表示A层被感染后, 在 t 时刻恢复的概率, 第二项表示易感染群体被同一个网络上的邻居传染的感染率, 它与传播率和平均度成正比，最后一项表示被另一层感染节点所感染的概率。第二行与第一行有相同的定义。  

通过时间演化, 动力方程将进入稳定状态，可见如果流行病在任何一层传播，则在两个相连层中一定会出现全局性的流行病。

定理意味着层间协同作用使整体传播率下降，促进了疾病全局传播。在同质(均匀)网络中在相同的传播率条件下，将会导致更大的最终传染规模。即在孤立单层或者层间网络不爆发疾病，而在耦合的关联网络上爆发。

2.  具有度相关异质网络耦合的双层关联网络

两个异质网络的耦合中考虑层间度相关性，这里按度分布粗粒化，假设同一层中所有度相同的节点具有相同的动力学行为。分析层间度相关性对传播阈值和最终感染规模的影响。

第一式右边第一项表示A 层度为 ka 节点被感染之后在 t 时刻恢复，第二项表示A 层度为 ka 节点的易感染概率被同层内邻居所感染，最后一项表示A层度为 ka 节点的易感染概率被另一层的邻居所感染。第二式类似。

说明关联网络的全局阈值小于等于单层的传播阈值。

3.  无度相关的异质网络耦合的双层关联网络

针对每个节点的传播动力学建模

针对恢复率相同和不相同两种情形，得到

4.  数值模拟

4.1 同质网络耦合的双层关联网络仿真

  两层WS网络，A层N = 1000 个节点的最近邻网络，每个节点的最近邻 ka 个节点，B层N = 800 个节点的最近邻网络，每个节点的最近邻 kb 个节点相连。每层进行断边重连的边数比例都是 20%. 再次，两层之间进行随机连接，直到子网之间连边的平均度大约是 ka/2. 在不同的层间平均度下进行 Monte Carlo 仿真，获得全局传播阈值。初始感染节点的比例是 2%，恢复率 μ1 = 1 和 μ2 = 1。子网间传播率λab = 0.1，λba = 0.1。多次仿真中，A层平均度 ka = (6, 8, ..., 34), B 层平均度kb = (4, 6, ..., 32)。

左图: 对应不同的平均度 ⟨ka⟩, 理论分析和数值仿真获得的全局传播阈值。右图: 不同的平均度 ⟨ka⟩下全局传播阈值和单层传播阈值的对比

 图中满足三种不同线性关系时关联网络最大特征值取值范围。图中小于1的部分，表示流行较小未达到全局，使得传染病消亡；大于1部分，表示达到全局阈值，传染病暴发。

4.2 异质网络相关耦合的关联网络仿真
考虑两个无标度BA网络的度相关性，A层  1000 个节点，B层800 个节点。

左图: 针对不同的 m 值，两个关联无标度网络的全局传播阈值和对应孤立网络的传播阈值对比。右图:理论值与仿真结果的比较

左图：层间度相关系数 r 对全局阈值的影响不明显。右图: 层间度相关系数 r 对最终感染规模的影响，说明负相关更有利于疾病传播。

4.3 异质网络耦合的双层关联网络仿真

考虑两层无标度BA网络，A 层m0 =10，m =10. B 层m0=8，m = 8.

左图: 不同传播率λa和λb下孤立网络的平均最终感染规模。右图: 不同传播率λa和λb下关联网络的平均最终感染规模 ρ 。

说明在相同的传播率λa和λb下，关联网络的平均最终感染规模都大于两个孤立网络的平均最终感染规模，而且关联网络的阈值更小（对比两幅图中的蓝色部分的大小）。

5.总结

从宏观结构（度分布均匀性）、中尺度结构（每类度分布异质性）、微观角度（节点度分布异质性）等不同粗粒化尺度出发, 构建基于关联网络的协同传播模型, 对比分析关联网络和对应孤立网络之间传播阈值和最终感染规模的大小关系。

针对这三个模型, 理论证明关联网络协同传播使全局阈值变小, 具有相同的传播率的条件下, 最终感染规模更大。考虑关联网络层间具有节点度相关性, 发现层间相关性对传播阈值影响不明显, 但对最终感染规模有影响, 负相关比正相关更利于疾病传播。进一步可研究的问题包括如何控制连边等寻找有效的控制疾病传播策略。