5.2第5章降水统计力学第3-5节—气象统计学私探（25）

张学文，2020 10 02  基于1985-2006的文稿

§3、算例与约束

有了一般公式，我们来做几个个例计算以加深对问题的认识并引出进一步的问题。

在开始计算幼儿浇花的算例之前，我们先作一点计算；先求一下50升水一共可以装成多少杯！由于每杯是50毫升（0.05升）所以50升水一共可以装50/0.05=1000杯水。

再者由于有100盆花（N=100），所以平均每盆花应当浇1000/100=10杯水。

例子一：设有99盆花都浇了9杯水，问一共有多少种浇水办法．

由于最初给定的条件是50升水必需用完，而且每盆必须浇上水，所以上述问题中99盆浇了99×9=89l杯水之后余下的l000-89l=l09杯水应当全部浇在另一盆花中。这样我们的杯数x₁和x₂分别应当是9和l09而对应的n₁和n₂分别为99和l即有表5.2

表5.2一种浇花结局

依W的公式将上述n₁，n₂以及N=100代入得

W=100

即共有100种浇花办法都能实现上述结局，它可以是第一盆浇了109，余下的99盆各浇了9杯。也可以是第二，第三……，第一百盆浇109杯，余者9杯．这样恰好是l00种办法。

例子二：如果再简单一点，假设每盆恰好浇l0杯(是其平均值)那么n₁就等于100，代入W公式得

W=100！/100！=1        （n₂= n₃=…=0，0！=1）

即对于第二个例子买际上仅有一个浇花方法。它与第一个例子中的方法数(W的值)竟然差l00倍!

对于N值已经确定了的问题来说，W值的大小(实现它的方法数的多少)以W的计算公式看，取决于n₁，n₂…这些个数。显然W的值最小应当等于l，最大肯定是一个有限值，而不是无穷大。要使W值大，显然要让W公式的分母要小，易于想见，如果让n₁=N／2，那么W值就可能加大很多。寻此思路我们又设计了第三个例子。

例子三：我们让50盆花浇l5杯水(n₁=50，x₁=15)，这时余下5 0盆花还余有1000-50×15=250杯水。我们如将这250杯水平均分给余下的50盆，那么每盆浇5杯就恰好用完。这时n₂=50，x₂=5。这样W的公式变成了

   W=100!/(50!×50！）

我们求得W=1.01×10²⁹。这个十分庞大的数字告诉我们实现50盆浇15杯，另50盆浇5杯的具体办法实在太多了。

W值这么大是由于我们设法让n₁恰好是N的一半而得到的。仿此精神我们还可以进一步再让n₂=1／2，n₃= n₂/3…这样显然还会使W的值进一步加大。

通过这几个例子我们要明确这样两个概念和它们的差别，一个概念就是分配方案（它由人给出，方案很多），另一个是具体实施该方案的浇花办法的个数。我们说把水均分给每盆花(例二)、或说99盆花每盆浇9杯另一盆浇109杯(例一)或说50盆各浇l5杯另5O盆各浇5杯(例三)这就是三种分配方案。从算例中我们看到分配方案不同(例一、二、三，各不相同)实施每个方案的具体办法的个数(W)就大不相同。例二仅有一个具体实施办法。而例一和例三则分别有lOO和1.01×10²⁹个具体实施办法。

注意，我们需要分清什么是分配方案的个数(三个例中每一例仅有一个)和具体实施此方案的办法的个数(三个例子中分别实现方法为100，1，1.01×10²⁹。)那么后边的讨论就难以深入下去了。

上面三个例子虽然是我们任意给出来的，但是设计这些例子时也要小心翼翼，这是因为还有两个约束条件我们必需要满足它才行。这两个约束就是每次浇花必需把5 0升水全部用完和总计浇的盆数应当是l00盆，不能有的没有浇或盆数超过N。如果用方程来表达这后一个约束，那么可以写成：

n₁+ n₂+…+ n_p=N

      （5.2）

对于前一个约束也可以写成

    （5.3）

这里我们用常数X代替V/Δv是为了以后讨论其他类型问题的方便。这里只要求记住上式的各个“两两乘积项”的和为—个常数就够了。

我们显然可以设计各种n₁， n₂……的分配状况，但任意一个分配方案都要求满足上述两个约束方程。我们已给的三个算例都是满足这两个约束方程的。

有了这两个约束方程和上面三个例子中引出的W的值还可以进一步深的认识，就为我们探讨W的极大值的问题做了准备。

    §4  实施方法最多的那种分配方案是什么

上一节的第二个算例告诉我们使每盆花浇l0杯水的方法仅有一种。例一则表明一盆浇l09杯余下99盆浇9杯的方法有l00种。而50盆浇l5杯另50盆浇5杯的方法竞有1.01×10²⁹这么多种浇花方法。这表明实现不同的浇水方案的具体作法的个数会相差非常多。

从理论上我们又知道任一个浇水方案(结局)的具体实施办法都不会是无穷多个(有的方案确实是实现方法惊人的多)。从这里引导我们想研究一个反问题，即具体实施办法最多的那一种浇水方案是什么?!如何求它？！

所谓具体实施办法最多的浇水方案，实际上就是W值最大的浇水方案。用数学的语言来说，这是对确定的问题来说W仅是n₁，n₂，n₃，……n_p的函数，问题是当n₁，n₂，n₃，……n_p各为什么值时W恰好达到极大值？而当W达到极大值时的n₁，n₂，n₃，……n_p就体现着一种浇水方案。这样就把问题归结为一个求多元变量n₁，n₂，n₃，……n_p的函数W的极值的问题了。

求函数的极值一般是先把它微分再令它等于零。但这里为便于计算而不直接求W的极值，而是求W的对数的极值。

由于lnW是W的单调上升函数，所以这样求出的lnW的极值自然对应着W的极值。对W的公式两侧取自然对数以后它变成了

如果我们问题中的每个n₁的值都远大于1，那么利用斯特林公式近似，有

   N＞＞1

将这个关系代入上述w的公式，我们再对它求微分则得

在得出上式时我们利用了 这样一个约束条件（N是常数），而W是n₁，n₂，n₃，……n_p这些自变量的函数。在数学上我们知道当变量的函数达到极值时，它对自变量的微分是等于零的。所以我们令上式等于零，那么相应的自变量的取值就恰好是使达到极值时的自变量的取值。故有

      i =1,2…p  (5.4)

求这个极值时我们仍需使上一节讲到的两个约束条件成立，所以两个约束方程也要用到求极值的过程中来。为此，我们对约束方程(5.2)和(5.3)分别取微分则得

    (5.5)

       (5.6)

从(5.4)式看取极大值的n₁，n₂，n₃，……n_p似乎与相应的x值没有关系．但通过（5.6）式就把n的大小与x的大小(在幼儿浇花问题中,即把浇的杯数与相应的盆数)联系了起来。这启示我们，将来得出的答案中应当在W取极值的条件下，应当是一组比例关系的浇水杯数对应着一组浇水的盆数，即一组x₁，x₂，x₃，…，x_p对应一组 n₁，n₂，n₃，……n_p 。

为了找到x与n的这些内在关系，我们对（5.5）和（5.6）式分别乘上两个常数α和β。这时原等式显然还成立。我们把这两个乘α和β的式子相加则得（在有约束条件下求极值的这种方法，常称为拉格朗日待定系数法。较细的介绍请参看文献[2.3]）

      （5.7）

由于各个都是自变量的微分，它们取什么值是可以由人们选定。为了得到结果，我们可以特别地让dn₃，dn₄，……dn_p 皆等于零，这时（1.7）式变成了

而在dn₃，dn₄，……dn_p 皆等于零时，（5.5）变成了

dn₁=-dn₂

把它代入上式得

仿以上步骤，如果让dn₂和dn₃以外的各个dn_i皆为零，那么又可得出

把此式与前面的式子联立起来，并且再重复这个步骤，我们就得到一串比例关系。

  （5.8）

至此可以说我们已经初步找到了W达到极值时各个x与各个n的内在比例关系。

由于各个的比值都是一样，这提示存在一个常数φ，这样上述关系式又可简化为

      i=1,2,…,p         (5.9)

上式实际上对于 i=1,2,…,p       时成都成立，即它对应p个方程式。如果我们把这个p个方程分别列出来再相加，注意到公式（5.2）则有

将上式代回（5.9），得到

      i=1,2,…,p（5.10）

上式给出了与N的比值与各个x_i的关系。在右侧的分母中实际上我们并没有规定i=1，2，3时x₁，x₂，x₃究竟有多大以及它们的间隔有多大。为了进一步弄清β的物理含义，让我们假设x₁，x₂，x₃，…，x_p这些量之间的任何两个相邻的x值的差值（即x_i-x_i-1）都是一个相同的常数Δx。现在让x同乘以（5.10）式右侧的分子和分母，那么即有

       （5.11）

应当承认我们的问题最初处理的都是离散的量。但自从取微分的时候开始实际上已经把它们当作连续变量处理了。显然只有在N很大各个n_i很大以及p也很大的场合下这样做不会造成多大误差。p值很大意味着很多个x值，这也意味着两个相邻的x的差相对地说是比较小的。基于这种分析（1.11）式中右侧分母的那个求和手续我们也可以用相应的积分来代替，即

经积分得上式应等于1/β 。这样代回（5.11）式，我们有

n_i=Nβexp(-βx_i)Δx             （5.12）

上式对于i=1，2，……，p都是对的。如我们把i=1，2，……，p时的上式都列写出来，再把它们分别乘以相应的x值再相加，我们得到

根据最初给的约束方程(5.3)式左侧变成了X，而右侧的求和手续我们也用积分代替

积分得

β=1/(X/N)

如果分析最初的约束方程(5.3)，不难看出X的含义是总共有多少杯水的意思。上式中的(X/N)显然是总的杯数除以总的盆数,它显然应当是平均每盆花应浇水的杯数，或每个花盆对x的平均占有量。为方便计算，我们以代表它：

= X/N

这样β即等于1/，所以（5.12）式可以写为

这个式子与i是什么值并无关系，所以附标i可以省略，而有一般式

      （5.13）

（5.13）式是我们得出的具体实施办法最多的哪一种浇水方案中n与Δx，x之间的内在关系。它表明在N，，Δx不变时n与x为负的指数关系。即x愈大n就迅速减少。

对确定的问题而言，N，，Δx都是常数。所以每给定一个x值(在例子中就是给定了所浇水的杯数)就是一个n值。(有n盆花恰好浇了x杯水)。这样有一串x值也就有一串对应的n值，因而具体实施办法最多(W最大)的那一种分配方案也就找到了。

现在回到最初的例子上去做个具体计算。这里我们已知的条件是N =100，=l0，如取浇水的杯效从l杯开始，但其间隔为2杯(Δx=2)，那么x₁，x₂，x₃，…，x_p为1，3，5，7。……将以上各值代入（5.13）式得到的计算结果见表5.3

表5.3  实施办法最多的那种分配水的方案

依表5.3算下来的盆数是100盆。依每盆浇的多少合计起来直到浇了29杯为止共浇了842杯。可以设想最后的4盆中有的可能浇了不止50杯。

我们取△x为2，主要是更好表现出如何用这个公式。在幼儿浇花的例子中对此可以想象为仅给他们一两个50毫升的杯，其他大多数杯都是l00毫升的(相当于两杯)也就与这里的计算一致了。

这个计算对吗?!应当说我们得到的公式是用了连续变量处理的。在N，n不算很大的场合是会有些误差。但看来大体上是正确的。

在这种分配方案下W达到极大值?这个极大值是多少呢?这可以利用最初的公式（5.l）来算一下：

这是一个比最初的第三个浇水方案的1.01×10²⁹个办法还要大很多很多亿倍的一个天文数字。

如果我们以浇水的杯数为横座标，而以相应的所浇的盆数为纵座标，那么依照表5.3 的数据我们可以作成一个直方图。

图5.2浇花实施办法最多所对应浇水数量与花盆数量的关系（依据表5.3）

在图（5.2）上可以看出水是如何分配到各盆中去的。或者说图上表示了x是如何分布到n盆花中的。这使我们初步体会到我们求得的并不仅是某一个数值，而是一个“分布”关系（后面再分析）。

知道了具体实施办法最多的这种浇水方案(分布)对我们有什么用处呢?后边可以逐步看到，我们几乎可以预言孩子们每次这样任性的浇水，他们所实现的浇水结果与上述理论算得的W是最大值时的浇水方案(表5.3)相差无几。

 §5每个实施方法的出现机会都相等

前面我们一再强调每个分配方案(结局)和每个具体的实施方法是两个含义不同的概念。一般地说每个分配方案会有很多种实现它的方法。在最初的那三个例子中每个方案分别有100，1，1.01×10²⁹个实施方法。而在求得的W最大的那个方案(表1)竟有9.51×l0⁹⁹实施办法。从一付扑克牌中任意抽一张，抽得的是红桃这个结局(与我们的分配方案对应)是由l 3个具体实施办法组成的，而抽得5点则仅由4个具体实施办法组成。这两种结果的实施办法的个数也是不等的。这道理是容易看明白的。

但从另一方面说，任取一张牌时，它出现那一张牌的概率(机会)是一样的。也就是说，在这种场合下，实现那一个具体结果的机会是相等的。对于浇花问题也是一样，在那里我们找不出什么理由说某一盆被孩子们偏爱而多浇一些或少浇一些。结果每一具体的浇花的方法得以实现的机会都是一样的。这种物理场景在量子力学中被称为“各个单态的出现机会相等”。所谓单态也就是每一个个的具体结果。

问题就出在有的分配方案是由数量不多的一些具体结果组成的(或者说较少的一组“单态”都体现这种分配方案)，而另一些分配方案是由为数极多的一个个具体结果组成的(单态个数极多)。我们计算W的公式就是求每种分配方案所对应的单态的个数(实现它的方法数)。由于每个单态出现的机会是一样的，因而应当说那一种分配方案对应的“单态”个数愈大，那么该方案出现的机会也成正比例的加大。我们花那么大的篇幅讨论最大的W所对应的分配方案是什么，就是因为这种分配方案对应的单态最多。既然每个单态出现的机会一样大，那么W最大的方案也就是最容易实现的方案（隐含了概率高的事件在一次抽样中容易出现的道理）。正由于这个道理我们几乎可以预言每次让孩子们浇花，所造成的结果都与表5.3那种分配水的结局很一致。对此只要回忆一下它对应的单态为9.51×l0⁹⁹个而最初的三个例子的单态数分别为100、1和1.01×10²⁹个足以说明问题了。

在浇花的问题中，我们曾用了“很可能出现什么结局”这句话。什么是“很可能”?!经过以上的讨论可以看到单态最多的那种分配方案出现的机会也最大。所谓很可能的结局也就是出现机会最大的那种分配方案．在统计学里人们使用“最可机”、“最大似然”这些词，其含义是一致的。显然，在这些地方已经渗入了概率论中的概念了。

把本章讨论的物理模型用到物理学上是统计力学的重要内容，把它用到降水问题上是本书后面的内容。显然这些类似内容有资格称为降水统计力学。

参考文献

1、W.L.Masterton  E．J.Slowiwski著，华 文，方锡义等译，化学原理，北京，北京大学出版社，1980，上册，150

2、Л.З.艾利斯哥尔兹著，李世晋译，变分法，商务印书馆，l956

3、D．德哈尔著，统计力学基础，453—454，上海，上海科技出版社，1980