——C.F.Gauss

首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了存在两个正常数C_1和C_2 ，使不等式

 x                 x

C_1———≤π(x)≤C_2———

log(x)            log(x)

对充分大的x成立，并且相当精确地定出了C_1和C_2的数值。他还证明了

π(x)log(x) ＿＿ π(x)log(x)

             lim ————— ≤1≤lim —————

            ---x                ___ x

            x→∞               x→∞

也就是说，如果π(x)log(x)/x 的极限存在，则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展，但不幸的是，用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。

1859年，Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文，这是他唯一一篇关于数论的论文。在这篇仅8页的论文里面，Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数

∞ 1

ζ(s)=Σ ——

n=1 n^s的性质。并且指出，素数的分布与ζ函数，特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系。

在这篇文章里，他还提出六个关于ζ函数的猜想，其中一个就是著名的Riemann假设：

ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上。

Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向，以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的。

1896年，两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理，从而解决了这个有一个世纪历史的难题。后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明。

以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上"。这就更让人相信，素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。

1921年，G.H.Hardy就曾经说过这样一段话："断言一个数学定理不能用某种方法证明，这可能显得过于轻率；但有一件事（素数定理没有初等证明）却是清楚的。如果有谁能给出素数定理的初等证明，那么他就将表明，我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的。那时我们就不得不把书本都抛在一边，重写整个理论。"

Hardy逝世于1947年，他万万没有想到，就在他去世的两年后，两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言，用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明，进而导致了整个素数理论的重写。

注：

Jacques Salomon Hadamard，法国数学家，在数学的许多方面均有贡献，被誉为Poincaré之后少有的多面手。

Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ，比利时数学家，他是国际数学联盟（IMU）首任主席。

Norbert Wiener，美国数学家、哲学家，控制论的创立者，在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。1964年获美国国家科学奖章。

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