十九世纪的人开创的统计物理学其本质

到了2017年才被中国人发现

美国归侨冯向军博士，2017年8月24日写于美丽家乡

十九世纪的克劳修斯引入了作为热温商Q/T的系统状态函数克劳修斯熵

十九世纪的玻尔兹曼发现了与克劳修斯熵在平衡态等价的

由系统微观状态总数W所决定的玻尔兹曼熵

并为此付出了宝贵的生命

十九世纪的玻尔兹曼还发现了热力学系统所普遍服从的玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布的幽灵居然在费米分布和玻色分布这种量子统计中俳徊

成为费米分布和玻色分布这种量子统计的共同基础

俱往矣

数风流人物还看今朝

十九世纪的人开创的统计物理学的本质直到

2017年才被你的同胞一个中国人发现

概率是万事万物的存在本身的测度或属性

概率分布则是具有复杂性的万事万物的存在本身的

同时性或共时性测度或属性

万事万物在则与之相应的概率分布就在

概率分布至少与熵互为根本

玻尔兹曼分布是具有复杂性的热力学系统这种

存在本身的同时性或共时性测度或属性

克劳修斯熵则是k*（玻尔兹曼分布f(Q)的信息量：-log(f(Q))+常量）

这个k就是玻尔兹曼常数

......

【附录1】

就平衡态的概率分布问题正式回应

学术知音张学文先生的“闲话”

美国归侨冯向军博士，2017年8月23日写于美丽家乡

(一）张学文先生的"闲话"及其可贵本质

学术知音张学文先生于2017-8-23 10:15发表如下精彩评论：

闲话

1.平衡态应当是稳定的状态。一般认为它不存在变化。它的宏观态应当只有一个态。这里似乎没有概率问题。

2.我们一般理解的系统微观态，例如宏观平衡态下的气体各个分子的速度，则是不同速度的分子数量占据了不同的百分比。这才出现速度不同百分比的分布问题。但是这个百分比发分布是不随时间变化的。

3.当这个不同速度占有的分子数的百分比稳定的时候，我们进行随机抽样，才出现一个概率分布问题。而这个概率分布与百分比的稳定分布是一个数学公式。

4.你不抽样就没有概率分布，但是不同速度的分子数的分布函数却稳定存在。

张学文先生的"闲话"的精彩之处在于：

（a） 张学文先生认为：概率分布与分子数的分布函数既有联系又有区别：“当这个不同速度占有的分子数的百分比稳定的时候，我们进行随机抽样，才出现一个概率分布问题。而这个概率分布与百分比的稳定分布是一个数学公式。你不抽样就没有概率分布，但是不同速度的分子数的分布函数却稳定存在。”

（b）张学文先生认为：不抽样就没有概率分布而分子数的分布函数却稳定存在。

（c)张学文先生的"闲话"直接涉及决定性或必然性事件有无客观存在的概率这一根本特大问题，也直接涉及：随机性与确定性的界限在什么地方, 是否存在？这一概率论至今仍悬而未决的根本特大问题。

（二）柯尔莫哥洛夫对上述根本特大问题的回答

柯尔莫哥洛夫认为：概率理论是一种特殊的测度论。概率就是对可测事件的一种测度。概率论与一般测度论相比较具有若干特征: 概率值非负且不大于1( 非负性) , 必然事件具有最大概率值1( 规范性) , 而不可能事件的概率为0。从形式观点来看, 全部概率理论可构成以“整个空间的测度为1”的特殊化测度论。 概率基点是概率空间( Q, A , P ) , Q 是基本事件ω所组成的集合, A 是Q 中集合的σ-代数, P是对所有可测事件A 有定义的概率测度。柯尔莫哥洛夫的公理化体系逐渐获得数学家的认可。随机分析的创立者伊藤清曾写道:读了柯尔莫哥洛夫的《概率论基础》, 我信服地认为概率论可用测度论来发展, 并且它和其他数学分支一样地严格。  但是概率论公理化体系的构造并没有解决所有的概率论原则问题。概率论公理体系只是结合直观, 将概率的某些性质进行了公理化。关于随机性的本质这个基本问题仍未解决。随机性与确定性的界限在什么地方, 是否存在? 这个问题带有哲学性质值得关注。后来柯尔莫哥洛夫为此付出了许多努力, 试图从复杂性、信息和其它概念等方面来解决这个问题。晚年, 他提出了一个平行地研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的庞大计划, 其基本思想是: 有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正的边界, 数学世界原则上是一个不可分割的整体。

（三）《关于决定性事件的概率论》的基本立场

确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性可以而且应该统一用科尔莫哥洛夫概率及概率分布来测度。这是因为一切偶然性现象都是因果论层面的确定性现象的缘故。概率就是对一切可测事件的符合柯尔莫哥洛夫概率公理的一种测度，而概率分布就是对具有复杂性的可测事件的一种同时性或共时性的测度。

举例来说，一张桌子上有一个萍果和两只香蕉这样的具有一定复杂性的决定性或确定性的平衡态，就对应一种符合柯尔莫哥洛夫概率公理的同时性或共时性的测度：

p1 = 1/3;

p2 = 2/3。

这其中，p1和p2是桌子上的水果的柯尔莫哥洛夫概率分布。

p1 + p2 = 1。p1是桌子上的水果表现为萍果的占比这种柯尔莫哥洛夫概率，而p2是桌子上的水果同时表现为香蕉的占比这种柯尔莫哥洛夫概率。平衡态的柯尔莫哥洛夫概率分布p1和p2的客观存在与抽不抽样毫无关系。抽样一般而言是一种历时性的经验而柯尔莫哥洛夫概率分布则是一种同时性或共时性的客观测度。非但如此，抽样最好的结果也不过就是得到正确的客观存在的平衡态的柯尔莫哥洛夫概率分布p1和p2。不恰当的抽样还可能得到错误的关于客观存在的平衡态的柯尔莫哥洛夫概率分布p1和p2的测试结果。

《关于决定性事件的概率论》认为：万事万物，一般而言，都是依某种概率分布而存在。事物在则某种概率分布在。因此万事万物的概率分布是其存在本身的重要属性而平衡态的概率分布则是事物的存在本身的相对稳定的重要属性。

【附录2】

费米分布的实质

美国归侨冯向军博士，2017年8月11日写于美丽家乡

在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半奇数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子【1】，服从费米-狄拉克统计或费米分布。费米分布的实质是【2】能量为E的某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。x = Aexp(-E/(kT))。这给我带来了丰富的想象空间:在某种意义上经典玻尔兹曼分布是经典平衡态和量子平衡态概率分布的共同基础。这难道是偶然发生的吗？

【试用无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推导费米分布】

假设费米子系统在N次实验中，某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2。n1 + n2 = N。以上抽象的统计数学假设避免了二义性又符合概率的统计定义。这时系统微观组合状态总数W(也就是N次实验中实现某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2的具体方法总数）满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-1)

玻尔兹曼熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-2）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-3)

考察系统以克劳修斯熵增引发玻尔兹曼熵增。

因为此原因，系统的玻尔兹曼熵从S变到S*，N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-4)

玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-5)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-6)

假设克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = klog(A) - E/T    (1-7)

式(1-7)可以通过命： 克劳修斯新熵态S* = klog(A)来实现。因为常数A与化学势u存在关系：A = exp(u/kT), 所以S* = u/T，E* = u。这也就是说：在任意给定的系统能量E下，通过把新能量E*变成化学势u,即可实现费米分布所需要的克劳修斯熵增量。

命：玻尔兹曼熵增量deltaS = 克劳修斯熵增量deltaSc    （1-8）

就有：

log(n1/n2) = log(A) - E/(kT)    (1-9)

n1/n2 = Aexp(-E/(kT))

x = (n1/N)/(n2/N) = Aexp(-E/(kT))    (1-10)

这也就是说： 某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。费米分布的前提成立。假设某个量子态被占概率为f(E)，则有

x = f(E)/(1-f(E))    （1-11）

f(E) = x/(1+x) = Aexp(-E/(kT))/(1+Aexp(-E/(kT))

f(E) = 1/(exp((E-u)/kT) + 1)    (1-11)

式（1-11）就是在系统能量为E，化学势为u的条件下，某个量子态被占概率所服从的费米分布。因为对于费米子，每种量子态上的粒子数要么为0要么为1，所以：

每种量子态上的平均粒子数 = 0*(1-f(E)) + 1*f(E) = f(E)   (1-12)

本文提供了对化学势的一种新解释：化学势u是在任意给定的系统能量E下，费米子系统能够引发N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次所需要的系统新能量值E*。化学势又叫费米能级或费米能量。

本文还从经典的最大玻尔兹曼熵：等于平衡态的克劳修斯熵的玻尔兹曼熵出发推导出量子统计分布：费米分布。

慢慢悟......

参考文献

【1】https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E7%B1%B3%E5%AD%90/126356?fr=aladdin

【2】余守宪 唐莹，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布的简单推导，物理与工程，第11卷，第2期，2001年。

https://wenku.baidu.com/view/4bb001b26f1aff00bfd51e0e.html

【附录3】

玻色分布也是基于经典玻尔兹曼分布的量子分布

美国归侨冯向军博士，2017年8月13日写于美丽家乡

【摘要】【1】文中，我用无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推导出基于经典玻尔兹曼分布的量子分布费米分布。本文则指出玻色分布也是基于经典玻尔兹曼分布的量子分布。

定理：假设能量为E化学势为u的由全同和独立粒子玻色子所组成的量子系统满足以下条件：【2】

(1)p_i+1/p_i = x,这其中p_i是某一量子态上有i个粒子的概率，这其中，非负整数i = 0，1，2，...

(2)x 服从经典玻尔兹曼分布：x = exp(-(E-u)/kT)

则给定量子态上的平均粒子数服从玻色-爱因斯坦分布：

f(E) = 1/(exp((E-u)/kT)-1)    (1-1)

证明：

由柯尔莫哥洛夫概率的规范性有：

p₀ + p₁ + ... + p_n +... = 1    (1-2)

因为：

p_i+1/p_i = x，i = 0，1，2，...    (1-3)

所以：

p₀(1 + x + x² + ...) = 1    (1-4)

因为玻色子不遵从泡利不相容原理，所以给定量子态上的平均粒子数f(E)服从：

f(E) = 0*p₀ + 1*p₁ + 2p₂ + 3p₃ + ... = p₀S，这其中

S = x + 2x² + 3x³ + ...    (1-5)

就有：

xS = x² + 2x³ + 3x⁴ + ... (1-6)

(1-x)S = x(1 + x + x² +...) = x/p₀    (1-7)

S = 1/p₀ * x/(1-x)

f(E) = p₀S = x/(1-x)    (1-8)

f(E)= 1/(exp((E-u)/(kT))-1)    (1-9)

证毕。

【讨论】【2】

（1）因为 f(E) >= 0 并且有限，所以：

exp((E-u)/(kT)) > 1    (1-10)

这要求化学势u低于最低能级。一般要求 u < 0。

（2）当 u = 0，

f(E)= 1/(exp(E/(kT))-1)    (1-11)

由此易导出普朗克公式。

（3）考察任意激发态的平均粒子数f(E)与基态的平均粒子数f(E0)之比：

f(E)/f(E₀) = (exp((E₀-u)/(kT)-1)/(exp((E-u)/(kT)-1)

f(E)/f(E₀) <= exp((E₀-E)/(kT) (1-12)

当T->0，f(E)/f(E0) ->  0。即玻色气体几乎全部粒子都集中在基态，形成一个凝聚态：玻色-爱因斯坦凝聚态。从而出现所有粒子都具有相同的能量和动量的宏观量子现象：超流。

【重大异见：玻色分布中的x是什么？】

我根据数学事实给出了与【2】文不相同的解释。

根据（1-4）式:

p₀(1 + x + x² + ...) = 1    (1-4)

有：

p0 + xp0(1 + x + x² + ...) = 1    (1-13)

p0  + x = 1

x = 1 - p0 = p1 + p2 + ...(1-14)

所以玻色分布中的x与费米分布中的x物理含义不一样，它是给定量子态上出现所有非零粒子数的概率的总和。或者更直接了当地说白了：x是给定量子态被粒子占领的总概率。

给定量子态上的平均粒子数f(E）= x/(1-x) =给定量子态被粒子占领的总概率与未被任何粒子占领的概率的比。

【试用无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推导玻色分布】

假设玻色子系统在n次实验中，能级E1上某量子态被占领的次数为n1而能级E2上某量子态被占领的次数为n2。n1 + n2 = N。以上抽象的统计数学假设避免了二义性又符合概率的统计定义。这时系统微观组合状态总数W(也就是在n次实验中，能级E1上某量子态被占领的次数为n1而能级E2上某量子态被占领的次数为n2的具体实现的方法总数）满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-15)

玻尔兹曼熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-16）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-17)

考察系统以克劳修斯熵增引发玻尔兹曼熵增。

因为此原因，系统的玻尔兹曼熵从S变到S*，n次实验中，能级E1上某量子态被占领的次数少了1次而能级E2上某量子态被占领的次数多了一次。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-18)

玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-19)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-20)

假设克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc =  （E2- E1）/T    (1-21)

命：玻尔兹曼熵增量deltaS = 克劳修斯熵增量deltaSc    （1-22）

就有：

log(n1/n2) =  - (E1-E2)/(kT)    (1-23)

n1 = nAexp(-E1/(kT))    (1-24)

n2 = nAexp(-E2/(kT))    (1-25)

p1 = n1/n = x(E1) = Aexp(-E1/(kT)    (1-26)

p2 = n2/n = x(E2) = Aexp(-E2/(kT)    (1-27)

这其中p1和p2分别是能级E1和能级E2上给定量子态被粒子占领的总概率。

x = Aexp(-E/(kT)) = exp(-(E-u)/(kT))    (1-28)

给定量子态上的平均粒子数f(E)满足：

f(E)= x/（1-x）= 1/(exp((E-u)/(kT))-1)    

参考文献

【1】冯向军，费米分布的实质，科学网，2017年8月11日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1070651.html

【2】余守宪 唐莹，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布的简单推导，物理与工程，第11卷，第2期，2001年。

https://wenku.baidu.com/view/4bb001b26f1aff00bfd51e0e.html

【附录】

玻色子对学术知音张学文先生的科学新单位个的颠覆

美国归侨冯向军博士，2017年8月14日写于美丽家乡

在全同而独立的玻色子系统中

在任意给定的量子态上

有一个波色子等同于没有玻色子和有了一回玻色子同时以一定概率发生；

有十个波色子等同于没有玻色子和有了十回玻色子同时以一定概率发生；

有百个波色子等同于没有玻色子和有了百回玻色子同时以一定概率发生；

有千个波色子等同于没有玻色子和有了千回玻色子同时以一定概率发生；

有万个波色子等同于没有玻色子和有了万回玻色子同时以一定概率发生；

有百万个波色子等同于没有玻色子和有了百万回玻色子同时以一定概率发生；

有千万个波色子等同于没有玻色子和有了千万回玻色子同时以一定概率发生；

有亿万个波色子等同于没有玻色子和有了亿万回玻色子同时以一定概率发生；

......

p₁ = p₀ * x

p₂ = p₀ * x²

p₃ = p₀ * x³

p₀ (1 + x + x² + x³ + ...) = 1

p₀ + xp₀(1 + x + x² + x³ + ...) = 1

p₀ + x = 1

x = p₁ + p₂ + p₃ + ... = 1 - p₀

这其中p_i是某量子态上有i个玻色子的概率，i = 0，1，2，...

p₁ = p₀ * （p₁ + p₂ + p₃ + ... ）

p₂ = p₀ * （p₁ + p₂ + p₃ + ... )²

p3 = p₀ * （p₁ + p₂ + p₃ + ... )³

^...

在系统温度T和能级E以及化学势u给定的情况下，

任意量子态上有玻色子的概率x是唯一确定的：

x = exp(-(E-u）/(kT)),这其中k是玻尔兹曼常数。(1-1)

任意量子态上没有玻色子的概率p0也是唯一确定的：

p0 = 1 - x (1-2)

这时任意量子态上的“1个玻色子” = p0(1，0）+ x(0，1）

这其中，

（1，0）= A = 没有玻色子，

(0，1）= 非A = 有玻色子

“1个玻色子” = p0A + x非A

“1个玻色子”的概率 = p0x

“2个玻色子” = p0A + x²非A

“2个玻色子”的概率 = p0x²

“3个玻色子” = p0A + x³非A

“3个玻色子”的概率 = p0x³

...

“任意多个玻色子”都是相互对立的广义向量：无玻色子和有玻色子所构成的

二维正交坐标系中的广义向量。