历史或将铭记这个至简至明的分布成因公式

美国归侨冯向军博士，2017年8月3日写于美丽家乡

np = -log(f(x)) (1-1)

【定理】对于任意给定的分布f(x)，假设可将f(x)视为在变量间隔x以后指定事件才出现的特殊形式的二项概率分布,那么导致成就f(x)的原因就是参数np满足式（1-1）。这其中n是把变量x等分后的等分数，而p是指定事件在任意变量等分片段上出现一次的概率。np可解读为指定事件在变量间隔x内实际可能出现的总次数的统计平均值。因为-log(f(x))可解读为给定分布所包含的信息

I = -log(f(x)),所以又有给定分布f(x)的成因是：

          np = 给定分布f(x)所包含的信息I  (1-2)        

证明：

（一）二项分布

考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)        (1-3)

（1-3）式就是二项分布的概率分布表达式。

（二）任意给定的分布f(x)的成因

 假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的待定函数关系，有：p = λy(x)/n,这其中y(x)是关于变量x的待定函数。

按（1-3）式，变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为

P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λy(x)/n)^k (1-λy(x)/n)^(n-k)        (1-4)

P（X = k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-λy(x)/n)^-k（λy(x))^k/k!（1-λy(x)/n)ⁿ

考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P₀(x),就有：

P₀(x) = P(X=0) = (1-λy(x)/n)ⁿ    (1-5)

当n->无穷大，有：

P₀(x) = exp(-λy(x))    (1-6)

下面来确定待定函数y(x)和参数np。

命：P₀(x) = 任意给定的合乎条件的分布f(x)，就有：

待定函数 y(x) = -1/λlog(f(x)) (1-7)

参数np = λy(x) = -log(f(x)) (1-8)

这其中n是把变量x等分后的等分数，而p是指定事件在任意变量等分片段上出现一次的概率。np可解读为指定事件在变量间隔x内实际可能出现的总次数的统计平均值。因为

-log(f(x))可解读为给定分布所包含的信息I = -log(f(x)),所以又有给定分布f(x)的成因是：

np = 给定分布f(x)所包含的信息I

证毕。

【举例】

（1）负指数分布：因为 f(x) = aexp(-λx)，所以 np = -log(a) +  λx。

（2）幂律分布：因为 f(x) = ax^-λ，所以 np = -log(a) +  λlog(x)。

（3）Tsallis 分布：因为f(x) = a(1 - (1-q1)λx)^1/(1-q1)，所以

 np  = -log(a) + 1/(q1-1)log(1 - (1-q1)λx)。