第十二章 群

12.1 从线性代数到抽象代数

 很长一段时间以来，人工智能探索一直都停留在非常低层面阶段，领域狭窄、举步维艰、训练困难。使得人工智能在20世纪70年代初走向低落，那段艰难岁月里很多专家甚至羞于谈论人工智能话题，让爱好者们大为尴尬，沉重打击了研究者的开拓勇气。

  如何让机器变得更聪明呢？机器能够象人类心智那样善于视觉处理吗，能够识别图案信息中隐含的特征属性吗？遗憾的是哪怕直到最近五年前，计算机都对图片理解几乎是束手无策的。

  为了解决机器识别误差过大的问题，最自然的想法是将不同算法组合在一起优势互补，从前就有很多专家们这样尝试，他们在机器训练时引入不同算法组合，希望一步一步改善机器学习的误差：

   按道理，只要加入一种又一种不同算法，组合这些算法的优势，就有望把误差从85%、85.1%、91%、95%、96%、97%，步步提高步步逼近，直至100%满意。

   然而人算不如天算，纸上谈兵的理论，再怎么努力结局都一样，实践证明将不同的普通算法组合，根本不可能让机器的图片识别能力达到人类的水平：

  那么，为什么会这样呢？

   先来看看下面这个视频：

http://open.163.com/movie/2016/4/V/R/MBKQ86TC4_MBKQ9BOVR.html

  相信很多有小孩家长一定也有同样经历，你总是难以抓取玩具。再怎么努力结局都一样。

  那么为什么会这样呢？ 视频揭秘告诉我们，因为机器中设置了概率上限，所以我们再怎么努力结局都一样。我们在信息缺失的情况下，象被愚弄的傻子一样，白费力气空努力。

   这是生活中的不完备性定理。

   同样的道理，当年哥德尔向希尔伯特递交不完备性定理时，实际上已经解释了这种传统机器识别算法的局限性，因为传统算法所依赖的线性代数系统下的离散矩阵参照系的表达最多为阿列夫0维。

     线性空间本身的局限性是本质性的！

即使线性空间的最高形式的连续无穷维矩阵最多也只有阿列夫1维，而客观特征属性可能多达阿列夫2【比如量子态exp（ipr）本证函数多达阿列夫2】

    线性空间本身的局限性，注定了线性空间基础上的任何算法的局限性。

   此前的机器学习算法的狼狈窘境，直到“深度学习”登上舞台那一天，才终于寻得转机。历史性的颠覆转折，来自于深度学习的诡异黑箱。2012年深度学习模型的谷歌大脑自主识别了猫。2015年微软深度学习电脑系统识别能力超越了人类。2016年深度学习的alphago打得人类落花流水。

     深度学习模型王者归来，在图像识别领域取得突破性进步。那么，“深度学习”为什么能够超越传统机器学习算法、为什么能够突破线性空间的固有局限性呢？

      秘密在于“张量”。

    我们知道，“深度学习”降低误差的关键是增加中间的‘隐层’：

   请注意，“深度学习”增加‘隐层’的方法，并不是简单拼凑组合，并不是传统算法的线性堆砌。请注意，“深度学习”添加的‘隐层’保持了偏线性结构。

   因此，“深度学习”的多层隐层结构同构于矩阵乘积，而矩阵乘积是多重线性的，即高阶张量。深度学习多层次隐层特征属性，就是高阶张量，所以，“深度学习”突破了原来的人工智能算法的一阶线性逻辑的局限性。

  “深度学习”实质上是一种张量模型。

   换句话说，深度学习人工智能模型已经不再是线性空间了，不再是向量模型了，而是一种张量。正因为它是张量，所以能够突破哥德尔不完备性定理所涉的一阶逻辑的局限性。

    但是，高阶张量因为特征属性过多，虽然问题的空间是得以完备了，不过实际应用时演算要素却过于庞大繁杂。常常造成维数灾难（高阶张量的特征基可多达阿列夫2维）。

    很快，人工智能工程师就发现，如果以高阶张量模式按部就班的深度学习，并非能够毫无障碍一帆风顺到达彼岸。

    进一步看，我们发现向量空间（线性空间）虽然是不完备的（比如向量空间矩阵力学不确定性现象，比如向量空间相对论距离引发的因果谬误现象），但如果恰当引入旋量就可以解决这类问题。也就是说，“向量*旋量”系统是一种完备空间（代数基本定理说明了这一点）。

    实际上，“向量*旋量”系统实际上就是高阶张量。它当然可以突破低阶的向量空间的固有局限性。

    这样看来，也许探索“向量*旋量”系统会很有意义，因为这个系统能够以群论来审视，而群论在很多情况下可以大大简化运算。这样，既可以得到完备性，又可以实现可操作性。

    两千多年以来，西方的自然科学就一直沿着古希腊《几何原本》的思维模式朝前走，而这条道路的本质上就是线性空间的思想。线性空间思想曾经如此灿烂辉煌，让科学家们情不自禁顶礼膜拜。但是，线性空间的光芒也遮挡了更伟大的彼岸，禁锢了大师们的眼界。所以，当两百年前伽罗华打开群论的天窗一望浩瀚星空之时，几乎所有的权威泰斗都无法看见它那无语绝伦的美貌。

   1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的大数学家柯西作为这些论文的鉴定人。然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。

   1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。

   1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。

   直到伽罗华死后14年，一个朋友才按照他的遗愿把他草书的手稿发表在《百科评论》中。1846年，法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义，最后他将这些论文编辑发表在极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐，从此群论才逐渐光辉万丈。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述，引起科学界广泛关注。

   伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。

   对伽罗华来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的璀璨数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。

   在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支，以至于整个自然科学思想都产生了重大的影响。

   今天，抽象代数已经是数学研究者的入门课程，但是它的思想对于任何人都不是很简单的。

    数学系的学生并非人人都理解抽象代数的，但几乎人人都知道伽罗华的事迹。他的命运是如此传奇，他的内心是如此纯粹。为了这种纯粹，伽罗华甚至愿意放弃生命，那一年他21岁。惟愿在这个薄情的世界深情的活着，世俗的世界却容不下这种纯粹。天妒英才，后人几多惋惜，幸运的是伽罗华群论种子没有随他一同陨落，却以排山倒海之势征服世界，永垂不朽！