8.7 线性空间和manifold

   manifold英文原意为“多层”体（中国把这个词翻译为颇具文艺范的词“流形”，这个朦胧诗般的词语严重误导了大家对其本意“多层体”的理解）。

  如果我们把线性空间看作一张平面板，那么manifold“流形”就可以形象的看作很多平面板络在一起的多层几何体。

     形象而言，manifold是一种由n层的a维线性空间叠放而成的‘a的n次方维’的多层次结构系统：

     如果多层平板叠放曲率较大，它可能是这个样子的：

     也可能是这个样子的：

      前几节我们探讨了，所有的深度学习模型的根本要点在于两个方面：

     1、提取一个层次的特征基系，线性组合之，相当于加法：S =∑an

     2、在多个隐层提取不同层次特征基系，逐层复合之，相当于乘法：f1(f2(f3(x)))= f1*f2*f3  

      第一，同一个层次的特征基系统 S =∑an，是一个线性空间，形象看就是一张平板。

      第二，如果这张平板通过线性变换（平移、伸缩、旋转）映射为另一张平板，相当于线性变换函数的复合作用f1(f2(f3(x)))。这是简化版的manifold“流形”结构。

       因为其中的平移、伸缩不改变特征方向（即不改变特征基，其线性变换相对简单），所以“流形”结构分析更重要的是探讨改变了特征方向的旋转变换（群生成元）。

         爱因斯坦引入“流形”模型分析广义相对论，是经典物理学的巨大飞跃，逻辑深度远远超过牛顿线性空间参照系的局限性。

   流形多层体的特征基维度是a的n次方（拓扑上连续可微即n趋于ℵ1，此时a的n次方为ℵ2）。比如，广义相对论的闵氏广义黎曼空间是n阶4维张量（4的n次方维特征向量），相当于10维流形结构。

    同样道理，深度学习模型多隐层的类似“流形”结构，也必将推动AI发展跨过线性空间参照系的局限性，飞跃全新的高度。