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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(6)

已有 441 次阅读 2020-4-6 12:14 |系统分类:科研笔记

15.6 无穷阶可微



      两千多年以来,所有自然科学都是以线性空间为参照系的。长期受到线性空间思维洗脑的同学们,很少关注维度(特征属性加法)和复合阶数(特征属性乘法)的区别。

     实际上,我们学习函数时接触过的重要概念,光滑函数,就是无穷阶复合乘积。

    光滑函数在数学中特指无穷阶可导的函数。若一函数是连续的,则称其为 函数;若函数1阶可导,且其1阶导函数连续,则被称为可微函数;若n阶(n趋于∞时)可导,且其n阶导函数都连续,则为光滑函数。


    我们知道,一阶导数相当于乘以一个▽ 算子,二阶导数相当于乘以两个▽ 算子.........n阶导数相当于乘以n个▽ 算子,也就是n次复合乘法。“光滑”的本质含义,就是无穷阶▽ 算子复合乘积的结果仍然有意义。


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    借此再来捋捋李群。李群是具有群结构的微分流形,且群的乘法和求逆运算都是光滑的(无穷阶可微)

    李群的这种独特性质,使之可以代数化。

    下面来看看以李代数来刻化李群的关键步骤:


  1、首先,在李群单位元邻域作类似于泰勒级数展开,计算1阶偏导项x1、x2、...... xn的组合,

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   以x1、x2、...... xn为基的线性组合,构成的一个线性空间,称为李代数。

660416542.jpg


  2、然后,计算任意的1阶偏导项x1、x2、...... xn的对易子(即2阶复合偏导项的差值)。

     李群的主要性质都可以从李括号(李代数对易子)的性质得到。















   李代数的向量基x1、x2、...... xn的加法,以指数函数转换,相当于李群的群乘法:

   exp(x1+x2+...... +xn)

   =exp(x1) * exp(x2) *.........*exp(xn) 




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    李群作为群空间,基本运算是乘法(群加法也相当于群乘法)。但是特征属性复合乘法非常复杂, n阶m维特征属性张量不仅对我们人类而言难以理解,对超级计算机而已也是算法灾难。

   幸运的是,光滑的李群却可以借用李代数来大体刻画,而李代数是我们熟悉的线性空间。这样,原本n阶(乘法)张量演算就简化成了m维(加法)线性运算,从而变得容易计算和领会。




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1 王安良

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