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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(5)

已有 389 次阅读 2020-4-6 09:58 |系统分类:科研笔记

15.5 缩并


    人工智能的本质是借助特征属性参照系,进行对象物的量化和推演。

    n阶m维特征属性参照系即n阶m维张量空间,张量空间所有参数都是特征参数。

    特征属性的扩张,一种是维度扩张(特征属性加法),一种是张量积扩张(特征属性乘法)。

    向量的张量积,即外积。


    与外积对应的叫内积,向量乘向量的内积是特征属性发生了缩并特征属性缩并生成标量。(注意,矢量乘矢量并不总能得到标量,详见:15.2 矢量乘矢量是标量吗?

    在特征属性空间中,没有特征属性的标量,是另类存在。



    那么,不含特征属性的标量是哪里蹦出来的呢?

    标量产生的本质,是特种属性缩并。特种属性缩并得到特征值,特征值是标量。

  【线性系统】   aX + bY + cZ => P  
 
其中,具有1阶特征属性的向量X、Y、Z叫做系统的‘特征基’,标量常数a、b、c叫做对象P在特征基上的特征值。







    如果我们以狄拉克一个左矢与一个右矢的内积,可以理解得更清晰些。

    左矢<α是一个向量,右矢β>是一个向量,左右矢的内积<α|β>是个标量。






   进一步看,有意思的是,左矢组成的空间和右矢组成的空间互为对偶的空间,左矢空间右矢空间把希尔伯特空间一分为二。而且,一个空间是向量空间,一个空间是旋量空间。

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      相互对偶空间为什么一个是向量空间,另一个为旋量空间呢?


   设(a,b)和(x,y)互为对偶空间,则左矢<a 、<b 与右矢x>、y> 发生特征属性缩并,得到特征值c

    ax+by=c





    当我们把x、y 看作特征基(坐标轴X、Y),把a、b看作的投影值时,得到如下直线:







     有好事者想,凭什么不能把a、b 作为特征基(坐标轴X、Y)的坐标变量,反之而把x、y看作直线斜率呢?(这其实就是‘对偶’观念)

     这时,如果在直线 ax+by=C 上固定一个点 A ,作图线 A_ xa+A_ yb=C ( 其中A_ x 是 A 点的 x 坐标, A_ y 是 A 点的 y 坐标):






    注意,当A 在ax+by=C上沿直线滑动时,随着A变动,A_ x 和 A_ y 的数值也随之变化,即 A_ xa+A_ yb=C 直线的斜率随之变动。这相当于,相对于X、Y坐标轴而言 有对应的无数条 A_ xa+A_ yb=C 在旋转运动



     这就是张量上的旋度的意义:向量空间矢量变化等同于其对偶空间的旋量变化









 



    进一步看,如果我们把X、Y看作特征基、把x、y看作直线斜率,把a、b 作为特征基(坐标轴X、Y)的坐标变量对应于一个双线性结构(直线ax+by=C 和直线 A_ xa+A_ yb=C两个线性约束条件塑造)。这个双线性结构相对于X、Y坐标轴而言,有一个是沿直线滑动(方向不变、大小变化)的矢量,对应一个是相对中心点旋转(方向变化、大小不变)的旋量


 

   并且,这个双线性结构,也可以看作是4特征基(协变*逆变)的张量积空间,7.3 多重线性关系章节探讨过的:


     如果我们把上述直线ax+by=C 和直线 A_ xa+A_ yb=C两个线性约束条件,看作是4特征基(协变*逆变)的张量积空间,即分别把ax+by=C中的x、y 作为特征基(X、Y)的投影,并且把A_ xa+A_ yb=C中的a、b 看作另一对特征基(α、β)的特征值,那么这个向量空间α、β正是向量空间(X,Y)对偶空间

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     在4特征基的“向量空间*对偶空间”张量积空间对于X、Y特征基的旋转量转换成4维度的线性量




    几点补充说明:

1、当左矢<α是一个向量,右矢β>是一个向量,左右矢的内积<α|β>等于标量1时,<α等于 1/β> ;即左矢<α和右矢β>相对于乘法互为“倒数”。换句话说,特征属性“倒数”,是旋量产生的根源注,这里的乘法是带特征属性的向量乘法,不是标量乘法。这里的“倒数”是特征属性倒数):

17.jpg

2、连续无穷维度微分几何中,设dx和dy分别为相互对偶空间的基矢量,则1/dy是dy的“倒数”,也可能是dx的“倒数”:


3、协变张量的实质是个“倒数”。如果把上标逆变看作分子,则下标协变看作分母的上标;

 4、张量缩并的本质,是协变张量和逆变张量的复合乘积, 协变张量在分母的位置、 逆变张量在分子的位置; 


5、特征属性空间的矩阵元素,都是某个左矢和右矢的内积,代表某个属性的特征值。


6、张量对偶空间的每多1阶,即多复合一个“倒数”特征属性








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1 王安良

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