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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(4)

已有 501 次阅读 2020-4-6 08:56 |系统分类:科研笔记

15.4 机械臂


    1830年,Chasles定理提出空间任意刚体运动,均可看作有限螺旋运动,即均可表示为绕一轴的旋转(旋量属性)和沿该轴的平移(向量属性)


    比如,机器人机械臂是刚体运动,通常可以分解为n阶旋转的复合、以及m维的平移。


    







      19世纪中叶,旋量代数与李群、李代数逐步融合。特别是提出著名的Erlangen纲领的克莱因,引入了“瞬时旋量”,成为李代数的一部分。




    如果我们对比最简单的1阶旋量和三维向量组成的刚体运动,会发现它很像闵式空间,其运动变换的空间直观而言类似于庞加莱群。






       进一步探讨,刚体运动也可以理解为保持长度,角度,面积等不变的仿射变换, 即保持内积和度量不变。比如,狭义相对论在洛伦兹变换下,闵式度规下的线元ds是保持不变的。(严格说,ds在闵式空间是个向量,向量ds并不是不变量,因为它的方向是变化的;不变的因该是ds的模、或者说不变的是ds的平方值。)



       狭义相对论世界不膨胀也不收缩,即线元ds保持不变,旋转平移就是这个世界的全部意义













      广义相对论则更复杂些,因为广义相对论的伪黎曼空间一个闵式切空间的线元ds1和另一个闵式切空间的线元ds2未必相等。换句话说,广义相对论的线元ds是允许缩放的。






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1 王安良

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