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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(2)

已有 546 次阅读 2020-2-1 12:02 |系统分类:科研笔记

15.2 矢量矢量标量吗?




    有同学在网上提问:矢量矢量标量吗?

    能想到这种抽象数学问题,难能可贵,意义非凡。



    我们探讨一下,矢量矢量能成为标量吗?


    举个例:

    量子力学中,证明波粒二象性的电子双缝干涉试验,很多人觉得非常诡异。

    一个电子打到靶板上,我们看到的是一个粒子;一个电子似乎无所谓干涉。两个电子似乎也无干涉......但是,n多个电子加在一起怎么就出现干涉了呢?

    其实,干涉现象的并不是简单“加法”产生的,本质是因为“乘法”(特征属性复合“乘法”)。且看:



    例1:一挺机枪从远处通过两个小孔扫射远方靶墙,子弹通过缝1和缝2,互不相干地一粒一粒打到靶上,此时密度分布p12(x)简单地等于通过两个小孔的密度分布相加:

    p12(x)=p1(x)+p2(x)      ① 

webwxgetmsgimg (1).jpg








     例2:一个稳定声源经过双缝隔音板,到达吸音板,声音强度分布I12(x)并不简单地等于通过两个小缝的密度分布相加:

    I12(x)I1(x)+I2(x)

webwxgetmsgimg.jpg


而是:

    I12(x)=I1(x)+I2(x)+干涉项      


      对比 ① 和②式,很显然“干涉项”是问题的关键


     

    进一步分析,设经过单缝1的声波用h1(x)exp(iwt1)表示,经过单缝2的声波用h2(x)exp(iwt2)表示,此时声波强度分布为:

webwxgetmsgimg (2).jpg


    注意,干涉项就是:h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2),其exp(iwt)是波函数的本证函数,也就是说h1(x)exp(iwt1)是矢量。

    所以,干涉项 h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2)的实质即矢量乘矢量

   在一些特殊情况下(比如当exp(iw(t1-t2))=exp(iπ) 时),h1(x)exp(iwt1).h2(x)exp(-iwt2)变成标量-1,即此时矢量矢量等于标量




   上述例子说明,矢量矢量可能成为标量





   并且,矢量矢量可能成为标量的例子还很多。

      再比如,

     动能 E=½mV^2

   我们知道,速度V是矢量,那么V^2还是矢量吗?

   这里能量E是标量,质量m是标量,所以V^2也是标量。也就是说,这个公式中V的平方,即VV变成了标量










      既然有很多矢量矢量等于标量的例子,那么我们是否可以认定矢量矢量一定标量呢?


   特请注意,答案是否定的!!!



   事实上,在大多数情况下矢量矢量标量


   









   常见的例子:

   我们都知道,物理学中两个矢量的叉乘,是一个另外的矢量











   更一般的情形,两个矢量的乘积(即一个一阶向量复合乘以一个一阶向量)得到的是一个二阶张量

   比如,桌子是一种特征向量,椅子是另一种特征向量,但是‘桌子椅子’却不是一阶向量。类似桌子椅子这种阶张量是广泛存在的,只是,它超出了一阶特征属性的表达范围。它不在人类习以为常的自然语言(一阶逻辑系统)中。因为不知道这种阶张量概念所表达的含义,我们通常会选择性忽略它而已。





   虽然天生一阶逻辑思维的人类习惯于漠视高阶逻辑概念,但是高阶逻辑却是普遍存在的,并且意义重大。

   比如:

   听说最新的围棋绝招很多是 AlphaGo 独创的,人们惊奇于 AlphaGo 的新颖下法是如此匪夷所思的高超。但是,当大家复盘 AlphaGo 的参数系统时,却发现根本无法理清它的思路。因为基于深度学习模型的 AlphaGo 的参数集,是阶张量。换句话说, AlphaGo 的思维模式是高阶逻辑的,这对于习惯于一阶逻辑的人类而言如同“黑箱”。










   所幸的是,在特殊情况下,高阶张量积会“降阶”成为低阶的向量、或者更低阶的标量

   也许正因为有了这些“特殊情况”,大自然才能在混沌中凝聚成粒子,我们才能在杂音中领会到规律


   把高阶张量“降阶”,是‘深度学习’复合特征属性模型简化算法的要义。

   对于复合乘法化简,即是对于不等价不可约群表示的化简。



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1 王安良

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