14.6 群参照系

      前两天，一架波音飞机在非洲失事，据说是因为仰角传感器故障反馈错误数据，误导自动驾驶系统压低机头俯冲坠机。虽然黑匣子结论还未出来，但是机器缺乏“常识”无疑是智能系统发展的要命缺陷。如今很多专业领域的专用人工智能已经显示超越人类的能力，那么象人类那样具备普通常识的通用AI到底有没有实现的可能性呢？

      专用人工智能和通用人工智能主要区别在于，专用人工智能专注于点，缺乏全局的视野，只见树木、不见森林。通用人工智能因为能洞察整体全貌，所以具备通用“常识”视角。

     比如，我们人类很容易判断猫和狗是近亲，相对于猫和鱼而言；容易判断猫和鱼更类似，相对于猫和苹果而言；容易判断猫和苹果关系更密切，相对于猫和石头而言。但是，现阶段的AI显然不具备这样的常识。

    显而易见，如何量化猫和狗、猫和鱼、猫和花草、猫和石头的亲近关系是关键。在线性系统中，一般而言我们会通过两个向量的内积，来度量它们之间的关系。对于深度学习AI，能不能同样借用内积关系来标识对象与对象之间的亲近程度呢？理论而言好像也可以。因为深度学习模型是张量，无非就是线性空间的扩展，线性空间的内积概念在张量空间依然存在。然而，问题是计算量（维数灾难），n阶张量是一个‘n阶a维’特征空间，'n阶a维’特征空间的内积运算量可能爆表。

    幸运的是，上帝给你关了一扇门,必然会为你开启另一扇窗。这扇新窗户就是“群”。通过群理论，‘n阶a维’特征属性张量将简化表达为‘m维’群生成元流形。

    这里我们简要捋一捋，善于表达系统（子系统）整体特征属性的群，如何能成就“通用参照系”的。

     最初，伽罗华群对于代数方程根域不变性的探索，创立了群论。

     伽罗华群的要义在于，代数方程的特征解等于它的根域N经有限次扩充系数F域至扩域Ki

     即： F = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ......⊂ Ks = N

     伽罗华群G是使F中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群G保持F域上特征属性不变性，即群G作用F域特征根还是F域特征根，群G作用只是使得F域不同特征根之间发生置换，G * F域特征根 → F域特征根

     G的不变子群G1，是使K0中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群G1保持K0域上特征属性不变性，即群G1作用K0域特征根还是K0域特征根，群G1作用只是使得K0域不同特征根之间发生置换，G1 * K0域特征根 → K0域特征根

     G1的不变子群G2，是使K1中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群G2保持K1域上特征属性不变性，即群G2作用K1域特征根还是K1域特征根，群G2作用只是使得K1域不同特征根之间发生置换，G2 * K1域特征根 → K1域特征根

     G2的不变子群G3，是使K2中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群G2保持K2域上特征属性不变性，即群G3作用K2域特征根还是K2域特征根，群G3作用只是使得K2域不同特征根之间发生置换，G3 * K2域特征根 → K2域特征根     

............

     Gs-1的不变子群Gs，是使Ks-1中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群Gs保持Ks-1域上特征属性不变性，即群Gs作用Ks-1域特征根还是Ks-1域特征根，群Gs作用只是使得Ks-1域不同特征根之间发生置换，Gs * Ks-1域特征根 → Ks-1域特征根

      有：

      G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ G3 ⊃...........⊃Gs=I

    注意， 

    代数方程的特征解扩充根域Ki的方法，类似于深度学习模型扩充一层又一层的隐层，即把线性空间扩充称为多层流形（张量空间），这个空间的特征根是‘n阶a维’的，很难完备求解。伽罗华另辟蹊径，把解空间（流形）的群结构抽取出来，只需简单量化不同子群之间关系，即可判断解的存在性问题：

    G的阶数/G1的阶数=r1

    G1的阶数/G2的阶数=r2

    G2的阶数/G3的阶数=r3

..........

    如果r1、r2、r3.......rs都是素数，那么代数方程有完备解。  

     然后，erlangen纲领关于非欧几何不变性的探讨。

     1872年, 23 岁的德国人克莱因在erlangen大学准备了一篇讲稿，这篇讲稿提出一个划时代的观点：每一种几何对应一个变换群, 每一种几何研究的对象是各形体在‘相应变换群下不变’的性质。

   erlangen纲领最为人所知的是关于几何学的纲领，但是实际上远不止此，而是贯穿了几何、代数、复分析、群论和数学物理等多个方面。 erlangen纲领认为数学分成不同的领域、不同的逻辑方法论，只不过是表面的现象，因为数学的核心逻辑思维是统一的。不同学科的各种逻辑，只不过是不同群变化下的表现。比如，从数学上来讲狭义相对论是在lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则是在一般点变换群下的不变量理论，在这个意义上相对论只是克莱因的《erlangen纲领》的一个应用事例而已。牛顿经典物理的参照系是比较简单的线性空间，爱因斯坦相对论的一层又一层线性空间参照系的系综是非常复杂的多层流形；非常复杂的多层流形，也就是‘n阶a维’高阶张量，无法再象传统物理那样度量完备的特征值，只能抽取最关键的子结构来分析；相对论研究的重点是一个参照系相对另一个参照系的变换，从一个参照系相对另一个参照系的变换，即群作用；所以相对论体系中必然包含群结构，从群结构入手分析多层流形是相对简单的常用办法。详见章节12.9 erlangen纲领

     继而，诺特定理对于群与物理守恒量一一对应关系的研究。

     艾米.诺特是德国女数学家，她天才地发现种种物理守恒定理都与某种对称变换有关，比如能量守恒对应时间平移对称、动量守恒对应空间平移对称、角动量守恒对应旋转对称等等。所谓对称变换，也就是群元作用。

     群论的核心，是群作用（变换）对于某个子系统特征属性的不变性。

     g对于系统M作用一个变换，M系统的特征属性保持不变，即 g*M → M

     h对于系统M作用另一个变换，M系统的特征属性保持不变，即 h*M → M

     则： 

     gg对于系统M作用一个复合变换，M系统的特征属性保持不变，即 gg*M → M

     hh对于系统M作用一个复合变换，M系统的特征属性保持不变，即 hh*M → M

     gh对于系统M作用一个复合变换，M系统的特征属性保持不变，即 gh*M → M

...............

     ggghh对于系统M作用一个复合变换，M系统的特征属性保持不变，即 ggghh*M → M

     ghhgghggghhhggh对于系统M作用一个复合变换，M系统的特征属性保持不变，即 ghhgghggghhhggh*M → M

     如果我们把g、h、gg、hh、gh、ggghh、ghhgghggghhhggh等全体元素组成集合G，则G对于M是一个群，G作用M，保持M系统特征属性不变性，即 G*M → M （这里符号*表示‘作用’）

     显而易见，群作用与守恒量（即特征属性保持不变）之间一一对应关系，并不局限于物理学领域，这是放之四海而皆准的基本原理，因为这个的实质内含就是“群”定义本身。

     同样地道理，我们不仅可以通过群论量化猫图象平移变换、缩放变换、旋转变换，还能通过群参照系来大一统量化猫、狗、花草等等的界、门、纲、目、科、属、种，从而量化猫和狗、猫和鱼、猫和花草、猫和石头的亲近关系，赋予机器常识观念。

     一只猫的特征属性有很多层级，设：

      猫的动物界属性的特征根域为K0

      猫的脊索动物门属性的特征根域为K1

      猫的哺乳纲属性的特征根域为K2

      猫的食肉目属性的特征根域为K3

      猫的猫亚科属性的特征根域为K4

      猫的猫属属性的特征根域为K5

      猫的波斯猫种属性的特征根域为K6

.................................

     有：  K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂ K5 ⊂ K6  ......⊂ Ks 

     类似于伽罗华群，猫的不同层级特征属性的特征解等于其对应根域K0经有限次扩充系数至根扩域Ki

     G的不变子群G1，是使K0中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G1保持猫的动物界属性在K0域上特征根不变性，即群G1作用K0域特征根还是K0域特征根，群G1作用只是使得K0域不同特征根之间发生置换，G1 * K0域特征根 → K0域特征根

     G1的不变子群G2，是使K1中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G2保持猫的脊索动物门属性在K1域上特征根不变性，即群G2作用K1域特征根还是K1域特征根，群G2作用只是使得K1域不同特征根之间发生置换，G2 * K1域特征根 → K1域特征根

     G2的不变子群G3，是使K2中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G3保持猫的哺乳纲属性在K2域上特征根不变性，即群G3作用K2域特征根还是K2域特征根，群G3作用只是使得K2域不同特征根之间发生置换，G3 * K2域特征根 → K2域特征根 

     G3的不变子群G4，是使K3中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G4保持猫的食肉目属性在K3域上特征根不变性，即群G4作用K3域特征根还是K3域特征根，群G4作用只是使得K3域不同特征根之间发生置换，G4 * K3域特征根 → K3域特征根  

     G4的不变子群G5，是使K4中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G5保持猫的猫亚科属性在K4域上特征根不变性，即群G5作用K4域特征根还是K4域特征根，群G5作用只是使得K4域不同特征根之间发生置换，G5 * K4域特征根 → K4域特征根  

     G5的不变子群G6，是使K5中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G6保持猫的猫属属性在K5域上特征根不变性，即群G6作用K5域特征根还是K5域特征根，群G6作用只是使得K5域不同特征根之间发生置换，G6 * K5域特征根 → K5域特征根

     G6的不变子群G7，是使K6中的数不变的、Ks的一切自同构变换所成的群；群G7保持猫的波斯猫种属性在K5域上特征根不变性，即群G7作用K6域特征根还是K6域特征根，群G7作用只是使得K6域不同特征根之间发生置换，G7 * K6域特征根 → K6域特征根

 .........................................

     Gs-1的不变子群Gs，是使Ks-1中的数不变的、N的一切自同构变换所成的群；群Gs保持Ks-1域上特征属性不变性，即群Gs作用Ks-1域特征根还是Ks-1域特征根，群Gs作用只是使得Ks-1域不同特征根之间发生置换，Gs * Ks-1域特征根 → Ks-1域特征根

      其中：

      G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ G3 ⊃...........⊃Gs=I

    得：

    单位元e * 一只猫  →  这只猫自身

    保持平移不变性的群元g * 一只猫  → 猫图片平移

    保持同态不变性的群元h * 一只猫  → 猫图片缩放

    保持内积不变性的群元j * 一只猫  → 猫图片旋转

.........................................

    保持波斯猫种特征属性不变性的群G7* 一只猫  → 波斯猫种

    保持猫属特征属性不变性的群G6 * 一只猫  → 猫属

    保持猫亚科特征属性不变性的群G5 * 一只猫  → 猫亚科

    保持食肉目特征属性不变性的群G4 * 一只猫  → 食肉目

     保持哺乳纲特征属性不变性的群G3 * 一只猫  → 哺乳纲

    保持脊索动物门特征属性不变性的群G2 * 一只猫  → 脊索动物门

    保持动物界特征属性不变性的群G1 * 一只猫  → 动物界

    同样的方法，可以找到保持狗的界、门、纲、目、科、属、种等各等级特征属性的群：

    保持哈趴狗种特征属性不变性的群 G'7 * 一只狗  → 哈趴狗种

    保持狼属特征属性不变性的群 G'6 * 一只狗  → 狼属

    保持犬科特征属性不变性的群 G'5 * 一只狗  → 犬科

    保持食肉目特征属性不变性的群G4 * 一只猫或狗  → 食肉目

     保持哺乳纲特征属性不变性的群G3 * 一只猫或狗  → 哺乳纲

    保持脊索动物门特征属性不变性的群G2 * 一只猫或狗  → 脊索动物门

    保持动物界特征属性不变性的群G1 * 一只猫或狗  → 动物界

  （其中保持食肉目特征属性、哺乳纲特征属性、脊索动物门特征属性、动物界特征属性不变性的群G4、G3、G2、G1，对应猫或狗是一样的。）

     所以，在群表示下，猫和狗的量化关系，可以简单设置为： （ G7生成元的个数/G4生成元的个数 + G'7生成元的个数/G4生成元的个数）

     又比如，在群表示下，猫和鱼的量化关系，可以简单设置为：（ G7生成元的个数/G2生成元的个数 + G'7生成元的个数/G2生成元的个数）

     由于： （ G7生成元的个数/G4生成元的个数 + G'7生成元的个数/G4生成元的个数） > （ G7生成元的个数/G2生成元的个数 + G'7生成元的个数/G2生成元的个数）

     所以判断猫和狗是近亲，相对于猫和鱼而言

     还比如，在群表示下，猫和苹果的量化关系，可以简单设置为： （ G1生成元的个数 + G''1生成元的个数）

     由于：  （ G7生成元的个数/G2生成元的个数 + G'7生成元的个数/G2生成元的个数） >  （ G1生成元的个数 + G''1生成元的个数）

     所以判断猫和鱼更类似，相对于猫和苹果而言

    捋一捋：

      两千多年前，欧几里得神奇发现了所有经典几何定理源至10条公理，开创了公理体系。成千上万的几何特征，居然只用10个特征基即可完整度量之。这不仅仅是个神奇，还说明了参照系度量的本质----以尽可能少的特征参数刻画系统特征属性。

      牛顿将几何公理体系的原理延拓到整个物理学，以特征向量概念对应公理概念，引入了力学研究通用的线性空间参照系，经典物理因此取得巨大成功。后人发现，不仅对于自然科学，而且文科的量化分析也可以公理化分析。从而，整个科学研究的分析空间的特征维度不断得以扩充。于是希尔伯特等高瞻远瞩意识到，逐步添加n+1维特征基到一个完整分析系统，也许能够构造全局通用的参照系。

      但是，歌德尔不完备性定理揭示了线性空间参照系的内在本质缺陷性。而且，不仅n+1维线性空间不完备，哪怕扩充到可列无穷维、以至于连续无穷维的线性空间仍然是不完备的。因为一阶特征向量无法度量高阶复合特征属性的客观对象（比如说谎者悖论）。

      随后，通过洛伦兹变换研究一个线性空间参照系到另一个线性空间参照系的物理量变化时，大师们发现多线性空间复合参照系（高阶复合特征属性）组成的系综对应于广义黎曼流形结构；同时，量子矩阵力学探索概率波扩展了单层线性空间至多重线性空间（张量）架构。继而，广义相对论和量子矩阵力学的规范场论深入发展，推动了多层流形（高阶张量）参照系在现代物理的应用。

    广义黎曼流形结构（多层流形）同胚于多重特征属性张量（高阶复合特征属性），乍一看似乎仍然可以借用线性空间特征基的标架场，不过多层流形过于复杂，有‘n阶a维’特征参数（可达阿列夫2维度），必然导致维数灾难，量化困难，很遗憾现实运算时往往行不通。

      转折发生在200年前，求解代数方程的问题。伽罗华慧眼发现，群集合和特征根域集合之间存在严格反比关系，群表达相对特征向量表达更简洁，更加符合参照系度量的本质----以尽可能少的特征参数刻画系统特征属性。通用参照系石破天惊的2.0版本，创始于群论。

     群和特征根域的反比关系，不仅存在于破解高次方程迷宫，而且这种关系其实是放之四海而皆准的广泛存在。每个群都严格对应一个特征属性集合，表达群特征的生成元集合和表达一阶特征的向量特征值集合存在严格反比关系。并且，因为有限维群元就能刻画对称旋量特征，而旋量意味着内含无穷维向量；常常一个群元的刻画就相当于一大堆特征向量的表达，一个有限维生成元的群对应了一个连续无穷维的向量特征值域集合。所以，群表达相对特征向量表达要简洁得多。如果条件允许能够分析到问题的每一个细节特征自然是好的，但如果时间资源有限，对于复杂系统我们只能抓住重点抓主要特征，那么可以考虑群参照系。对于那些无须深究细节、只需区分主脉络特征作常识性判断，群参照系度量尤为适用。

      公理参照系将成千上万几何特征属性简化为10个公理特征参数，  而群参照系将‘n阶a维’高阶复合特征属性简化为‘m维’群生成元特征参数。  大多数“常识”性判断，都不必求取整个张量系统的‘n阶a维’特征参数，只需要度量子群与子群之间的‘m维’生成元关系即可。群参照系的优势显而易见，群生成元特征显然简单得多，相对向量特征维度简化很多很多。

      深度学习模型之所以在人工智能领域异军突起，是因为它超越了线性空间参照系，它是一种多层流形结构。更幸运的是，多层流形隐含着群结构，所以深度学习参数集可以借助单参微分同胚群，慨括性探讨通用系统的整体特征属性关系，赋予人工智能在群参照系下构建“常识”基础理念。