12.12  从完备性到不确定性

   自古而来，代数方程都是数学界头号问题，数学家总想得到代数方程的完备的确定的根，总想从不确定性走向完备性。直到伽罗华，代数方程的完备性和不确定性问题才得到满意的答案。其后，抽象群论从代数方程扩张到整个代数、几何、复分析和数学物理等多个方面，不变量的完备性问题得以从更高角度俯瞰。

    群和域扩张构成结构上的一一对应，决定了群的可交换性与根式解的完备性一一对应。我们知道，复数域是代数闭域，有理数域对四则运算封闭，所以所有代数方程解的完备域一定在复数域和有理数域之间。特别的，根式解的完备域也一定在复数域和有理数域之间。因此代数方程解的等价问题是，把多项式的根加入基础域中，进行域扩张，是不是可以得到所有问题的完备根式解呢？

   在复杂系统中，处理一个子系统和另一个子系统关系时，相当于动态的映射。这时静态子系统（静态图形）本身并不是重点，图形的动态变换δ才是关键，这个群{δ}反映了动态图形的整体结构性质。下图中，变换群{δ1、δ2、δ3、δ4}表达了动态1， 变换群{δ1、δ4}表达了动态2 。

   凯莱定理说“任一有限群都与其元素的一个置换群同构”。

   有理数域保持不变的根的置换群，称为伽罗华群,记为Gal(K/F)，K/F为伽罗瓦扩张。这里“保持不变的根”，指的是置换映射g的不变量。

   对于多项式我们可以找到一个正规扩张链，将它的扩张域逐步分解为正规扩张F、E1、E2 .......

   当我们同时对F、E1层进行δ置换映射时，E1层的a在δ作用下转动，基域F层的元素经过δ映射后还在F层里保持不动。这里，域F是δ群的不变量。（读者家里有那种转动的门把手的话，你们可以观察一下它外圈转动的时候中间的锁芯是不动的，就跟这个图的意思一样。）

   同理，我们对F、E1、E2层进行ξ置换映射时，基域F层和E1扩张层的元素经过ξ映射后不动，E2层元素在ξ作用下转动。这里，域F和E1是ξ群的不变量。

   设H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，H是一个K和F之间的中间域（即上图的基域F层和E1扩张层，还可以一步步延伸到E2扩张层、E3扩张层......） 大的域K是中间域H的正规扩张，中间域H又是更小的域F的正规扩张。

   对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。群{δ}和域E1层对应，群{ξ}和域E2层对应，等等。

   F⊂E1⊂E2⊂E3.......⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。

   在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。

   大家直觉以为靠开方生成的置换群域扩张“拓展树”（数学上称这个“拓展树”为根式扩张塔）可以得到任何一个多项式的根，但是阿贝尔扼杀了这种乐观。

    继而，伽罗华在多项式根域剥洋葱时发现，A5偶置换群（非阿贝尔单群）剥不开。从而彻底的一劳永逸的证明了五次以上多项式的完备根式解并不存在。

    阿贝尔群即交换群，而有限交换单群一定是素数阶循环群。如果多项式根的域扩张对应素数阶循环群Zp，则有完备根式解；反之，如果置换群混入了交错群An（n>=5)，则根式解不完备。

    更加有意义的是，上面的结论并不仅仅局限于多项式。当群论从代数方程扩张到整个代数、几何、复分析和数学物理等多个方面时，我们得以从更高角度俯瞰。从而浓缩为一句话，交换的阿贝尔群意味着完备性，而相互纠缠的非阿贝尔单群则意味着不确定性现象。

   从希尔伯特之梦到歌德尔不完备性定理，从薛定谔方程到海森堡不确定性原理，从交换群到非阿贝尔单群，这是不是意味着通过群论已经找到了从完备性到不确定性的终极答案呢？

     2017年1 月 30 日，在宾夕法尼亚州匹兹堡的 Rivers 赌场，卡耐基梅隆大学开发的人工智能程序Libratus 在德州扑克（美国版炸金花）比赛中轻松击败人类赌神。这次比赛时长为20天，Libratus和4名顶级人类玩家Jason Les、Dong Kim、Daniel McAulay 、Jimmy Chou，玩12万手，胜者将获得20万美元的奖金。人工智能Libratus在前三轮比赛并无优势，四位人类职业牌手在第四天和第六天的比赛中获得了胜利。但是人工智能却在开场不利后越战越勇，到第10天结束时Libratus已经领先677,000美元，获得压倒性胜利。半程结束后，局势几乎已经难以扭转了。最终比赛结果悬殊，人工智能狂胜200多万美元,让人类玩家感到无力回天的绝望。

     上图是人工智能德州扑克选手Libratus的每日战绩。曲线清楚的告诉我们，比赛期间人工智能至少有两天明显出现了状态下滑。然而人类选手们没有一次能够把胜利延续下去。在这场为期二十天的比赛刚刚过半之时，人类赌神Kim就直言：人类已经没有真正获胜的机会！每一天，Libratus都会进步。几个人类顶级职业玩家都发现难以找到它的漏洞。即便找到一个漏洞，第二天就会消失不见。比赛中人类高手充满挫败感。上面的曲线也清楚说明了这一点。这就是机器学习的成就！

     这场比赛的最大看点在于，德州扑克是信息不对称的博弈。与围棋、国际象棋不同，朴克比赛中每个选手只能看到自己的手牌。不完整信息博弈（比如德州扑克、桥牌、斗地主、麻将等等）曾经被看作是难以攻克的人工智能难题。现实世界中，不完美信息才是常态，各种看不见的隐藏信息产生了大量的不确定性，而德州扑克代表的就是这种类型的博弈。在围棋界纵横无敌的AlphaGo，本质上处理的还是完美信息博弈，无法处理德州扑克的问题。想要实现通用人工智能必须学会解决不确定性问题，这也是此次人机大战的重大意义之一。德州扑克赌博不仅靠运气，更讲技术，是一种不确定性中的最优策略博弈。

     因为这种不确定性最优策略，机器人赌博时学会了‘诈牌’进行博弈，有一局电脑Libratus得到的最后一张明牌是黑桃9，三张明牌牌面反映Libratus很像是黑桃“同花”的好牌。这时机器人直接下大注15000，把赌注翻番。害得人类对手犹豫了半天， 最终才哆哆嗦嗦咬牙跟进。开牌后大家发现Libratus底牌有一张梅花，根本不是黑桃同花。 按照德州扑克牌组大小规则：同花顺＞四条＞葫芦＞同花＞顺子＞三条＞两对＞一对＞单牌，Libratus明知自己底牌是“一对”8，黑桃9对它的牌面而言并非好牌，但它却在此时加大筹码豪赌，显然机器人是在诈唬。虚虚实实之中逼迫对手主动放弃，是一种博弈策略，往往能够获得赌博收益最大化。

     不确定性中的最优策略是下阶段通用人工智能的关键环节。