12.4 伽罗华可解群

  深度学习模型如上图所示，如果我们把其中的连线参数一个个都记下来，会发现每一隐层都可以记为一个矩阵，而多个层级的隐层整体相当于矩阵的连乘：

  由于多个矩阵乘积，也就是高阶张量，并不是一阶逻辑的，所以我们很难理解其中的逻辑。比如，棋迷们都看出alpha go的棋法高超，但对于它为什么这样下，它是如何想的，人类却知其然不知其所以然。对我们而言，深度学习多层隐层如同黑箱。

  那么，有没有什么办法能够厘清其中逻辑，以一种简洁形式呈现出来呢？

  有！

  前面说过，仅含向量的空间必然是向量空间，所以高阶张量一定不仅仅包含了向量，一定还包含着旋量。

  那么，如果把旋量结构作为基本构件，以此来审视张量模型会不会比较一目了然呢？

  当年，伽罗华灵光一现，最先就想到了这点。

  伽罗华之前，求解高次代数方程的实数根，千年来都一直是可望不可即的天书。伽罗华另辟蹊径，不以向量为基础，而以旋量为出发点。很快，他就发现如果一个代数系统对应的伽罗华群是由一串循环单群组成，则这个代数方程有根式解。

   我们来简要看看伽罗华证明的实质：

   首先，伽罗华群即置换群，由于置换可以分解成更小单位的轮换，而轮换又可以矩阵表达，所以置换可以传化为轮换矩阵的乘积，所以置换的实质就是张量。也就是说，伽罗华群的元素是张量。

   同时，也因为存在轮换子结构，所以置换群可以由更小单位的素数阶循环单群分解，当这种分解是完备时，则此置换群有完备根式解。

  换句话说，循环单群是解答置换张量系统的关键，又因为素数阶循环单群的实质是素数分圆方程（旋量结构），所以说伽罗华理论的核心就是旋量结构。

   简而言之，如果伽罗华群的‘因数分解’由一串素数分圆结构组成，则可解。

    回到深度学习，因为它是张量模型，所以它能解决其它向量空间模型无法解答的机器学习难题。

     不利的一面是，张量系统复杂性意味着运算量巨大，还难以理解。

     不过，群论恰好长于简化复杂系综的演算，也容易领会。那么，如果我们把一般的深度学习参数系统，转化为某种群结构，是否可行呢？这样的结构会不会拥有更高级的训练学习能力呢？