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代数几何小科普3:怎么知道方程(组)有解?

已有 10856 次阅读 2014-8-8 13:31 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 科普, 代数几何, 方程

博主按:本文发表于善科网,今稍作修改,移至本博客。


我们在中学和大学时代涉及的很多数学内容都与方程(组)有关。解方程就像猜谜语。方程告诉你谜面,你则需要自己动脑筋寻求谜底--也就是求方程的解。遗憾的是,很多时候,我们根本无法确切地知道谜底。 在这种情况下,人们可以退而求其次,先判断方程是否有解。


一、求解的范围


在判断方程有无解之前,我们首先要明确自己求解的范围,否则这样的讨论是没有意义的。因为对于同样的方程,在不同的求解范围内,上述问题的答案可以不一样。这就好比每条谜语后面都要说明是猜什么东西。比如考虑方程

2x=1.

它在有理数范围内有解  x=1/2, 但是在整数范围内没有解 (因为1/2不是整数)。类似地,

二次方程

x2+x+1=0

在实数范围内没有解,但是在复数范围内却有两个不同解。


从历史的角度看,人类对于方程求解范围的限定是有一个逐步扩展的过程的。可能一开始人们主要关心方程的整数解和有理数解。初等数论中的不定方程主要就是讨论这类范围内的求解。通常来说,求方程的整数解和有理数解是很困难的,比如著名的费马猜想

Xn+Yn=Zn,  n>2

断言该方程没有正整数解(X,Y,Z).


 


这个猜想被很多人--诸如欧拉、高斯等--讨论过,最后由外尔斯于1995年前后利用高深的数学工具和技巧才得以解决。以后我们将介绍一下这方面的有趣话题。


 

 

随着历史发展,求解的范围被允许扩展到实数。 这得归功于毕达哥拉斯学派,他们很早发现了√2 是无理数的事实。这个重要的发现显然对当时普遍的哲学观点构成了致命的冲击。


 


此后人们可以更从容地讨论一个实系数多项式方程

xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0=0

的求解问题。遗憾的是,这样的方程有可能没有实数解。 比如解二次方程(即n=2) 时, 如果遇到判别式小于0, 方程没有实根,只有两个虚根。以前人们采取的策略就是将这样的虚根简单地抛弃掉--这种令人担忧的做法或许在今天的中学里仍被采用, 因为当时的人无法坦然接受复数的概念。


现在我们已经知道,复数可以看成平面上的点或者平面上的向量。


 


有人试图从这类实现方式中去探寻更一般的“超复数”(比如格拉斯曼),



这就是后来我们大学里学到的n维向量空间理论的起源之一。


美中不足的是,高维向量一般没有实数或复数那样自然的乘法运算。 也有人用其他方式去构造更一般的“数”,比如哈密尔顿构造了四元数。然而这样的数无法满足乘法交换律。


 


在人们接受了复数之后, 方程的求解限制再一次被大大放宽。高斯证明了如下著名的结论---称为高斯代数学基本定理:

“复系数多项式方程

xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0=0

恰好有n个复数根 (这里允许有重根)。”


 


这个结论告诉你很多事情。比如, 你无法指望通过对复数开根来得到“超复数”--超越复数范围的新“数”。从这个意义上说, 复数集合--称为复数域--是最大的数系了。复数域的这种性质叫做代数封闭性。


这里说一些题外话。 代数学基本定理并不是高斯第一个发现的。达朗贝尔在此之前就知道这个结论,但是没有给出正确严格的证明。



代数学基本定理有很多不同的证明,但是这些证明都不是纯代数的!事实上,这个定理本质上是拓扑的(也就是说它由某些几何性质所决定)。


方程求解的范围也可以朝着其他不同的方向发展。比如对于数论中的一些不定方程,人们可以引进所谓的 p-adic 数来扩大求解范围。 这里我们不再展开。



二、如何判断单变量多项式方程有解?


我们还是先考虑

多项式方程

xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a1x+a0=0  (*)

的解。 如果我们是在复数范围内讨论它,那么高斯代数学基本定理已经告诉了你存在n个解--尽管你还是求出不解。现在我们暂时把目光集中在实数解上。


对于次数不超过4的方程, 人们可以寻求精确的求解公式来了解有多少解是实根。但是对于次数大于4的方程,问题就来了。 阿贝尔和伽罗华两位天才的工作告诉人们,一般说来此时的方程没有求根公式。



找不到精确的根,不代表我们无法判断根的存在性。数学的一大魅力在于,我们可以通过某些间接的方式来证明某些东西是存在的--称为存在性证明。 比如利用连续函数的介值定理,人们可以轻松断言“上面的方程的次数n如果是奇数的话,则必有一个实根存在。 ”这个结论完全不能帮助你找到精确的实根,但是却奇妙地确认了实根的存在性!

顺便说一下, 利用这个结论,人们可以证明高斯代数学基本定理。前面我们说,高斯这个定理不可能是纯代数的。在这个证明中, 非代数的部分就是上面的介值定理--它实际上是拓扑的。


 


研究方程 (*)的实根往往是很困难的。 比如在一个给定区间内,是否存在实根?有多少实根?等等。 数学家斯图谟给出了一种很漂亮的方法,可以确定实系数方程(*)在给定区间内的实根个数。 有兴趣的读者可以去了解一下(比如下图的书)。


 


三、如何判断二元多项式方程有解?


现在我们可以考虑两个变量的方程

f(x,y)=0.

这里 f 是关于 x,y 的多项式。

如果你在复数范围内求解 (x,y), 你会得到无数的解!

这是因为你任取一个复数 $y$, 上面的方程是关于 $x$ 的一个单变量多项式方程。高斯代数学基本定理告诉你这样的x总是存在。


这样的解(x,y)在复数坐标系下构成的集合是一个几何图形--叫做“代数曲线”。根据上一篇文章的讨论, 这个“代数曲线”其实是实四维空间中的一个曲面。我们之所以把它叫曲线,只是因为我们习惯上把它类比成该方程在实坐标平面上所描绘的曲线。


代数曲线是代数几何中最基本的几何对象。如果你们把它想象称四维空间中的曲面,那么它们的形状基本上就是气球或者带有若干个“洞眼”的救生圈。

 


以后我们将专门介绍它们,比如其中最著名的三次曲线

y2=x3+ax+b.


假如我们把求解放在实数范围内呢? 那么问题将变得极其复杂。可能方程会没有实数解,例如

x2+y2+1=0.

也可能仅有一个解, 例如

x2+y2=0

仅有实数解(x,y)=(0,0).  


当然,方程的也可能有无穷多个实数解,这些解描绘了平面上的若条曲线分支。这些曲线分支中,有一些是闭合的--就是说自己围成一个圈,有一些不闭合。一个有趣且非常困难的问题是“到底有多少个闭合的曲线分支”?关于这方面的研究只有零星的结果。


如果我们再缩小解的范围到有理数上呢?这就差不多是数论所关心的范畴了。问题的困难程度也进一步上升。一个有趣的初等结论是“一次和二次有理系数方程 f(x,y)=0 有无穷多个有理数解。”

我们甚至可以精确求出这些解。

比如, 单位圆周

x2+y2=1

的所有有理解可以表述为

x= 2t/(1+t2),  y=(1-t^2)/(1+t^2), t∈Q∪∞

这个通解实际上是从解析几何初等方法推出来的,并没有用到太多数论知识。



利用这个结果,你可以很容易得到勾股方程

X2+Y2=Z2 

的全部整数解(X,Y,Z). 我们以后会在另一文章中介绍。




对于三次方程

y2=x3+ax+b,  a,b∈ Q,

求解有理数解是个让人非常着迷的问题。费马很早就关心过这类问题。我们现在知道的同余数问题、费马猜想、BSD猜想等等难题都与此有关。

 


此时,这些有理数解构成的集合上可以引入一种类似“加减法”的运算,它们满足常见的交换律、结合律等。因此你可以通过相“加”两个有理解得到第三个有理解(允许相同)。莫代尔的著名定理告诉你:你可以寻找有限个有理数解,它们通过加加减减就能得到所有的有理数解。关于这方面还有许多有趣的性质,我们以后再详细介绍。





一般说来,很多三次有理系数方程会有无穷多个有理数解,当然也有一些只有有限个有理解。如何判断有多少解是很难的问题。对于更高次的有理系数方程来说,有个著名的定理显示,只要这个方程描述的代数曲线满足一定的几何条件,它就最多只有有限个有理数解。限于篇幅,我们这里不再展开。



最后我们把求解范围限制到整数上。这基本上已经达到了数论问题的困难极限了。 一般说来,没有什么固定的方法可以让你有效判断方程有无整数解。 除非一些特殊情形。 比如初等数论里研究的佩尔方程

x2-d y2=1

或者二次剩余问题

x2-py=q

它们的方程分别对应平面上的双曲线和抛物线。 佩尔方程的经典求解方法是使用连分数,二次剩余问题则涉及到经典数论中最出色的理论--高斯二次互反律。以后我们将会讨论这些有趣的话题。


 


上面的这些讨论也可以推广到多元多项式情形。这样的方程会在高维空间中描述一个几何图形,通常称为超曲面。这也是代数几何研究的主要对象之一。


四、如何判断二元多项式方程组有解?


假如我们关心方程组

f(x,y) =0,

g(x,y) =0.

的复数解,又会出现一系列有趣的问题(f,g是多项式, 没有公因子)。

通过一些多项式的加减乘除,我们可以把x消掉, 从而得到一个关于

y的多项式(里面不出现x)--称为结式. 原始方程的解显然也满足y的这个方程。根据高斯代数学基本定理,这样的y至多只有有限个。同样地,我们也可以类似说明x最多只有有限个,因此原始方程组的解只有有限个。 几何上看,这两个方程分别描述了两条平面曲线,而两条曲线通常只能相交有限个点。有个贝祖定理说,这样两条曲线的交点个数恰好就是两个多项式的次数之积deg f ·deg g.



如果我们稍稍改变一下上面的方程组, 考虑

f(x,y) =u,

g(x,y) =v.

u,v是参数。 利用隐函数定理,我们可以得到它的一组参数解

x =φ1(u,v),

y =φ2(u,v).

一个有趣的问题是:什么时候 φ1,φ2会是u,v的多项式?这就引出了著名的雅可比猜想:


φ1,φ2是多项式的充分必要条件是如下的雅克比行列式是非零常数!

 

这个猜想也有更一般的形式。但即使是上述二元情形也未得到证明。张益唐曾经也考虑过这个问题,可惜没有成功。

 


五、如何判断多元多项式方程组有无解?


一般形式的方程组如下:

f1(x1,x2,...,xn)=0,

f2(x1,x2,...,xn)=0,

..................

fr(x1,x2,...,xn)=0

 

这个方程组有n个复数变量 x1,...,xn. 它的解集是高维空间中的几何图形--叫做代数簇。这就是代数几何要研究的东西。

根据前面二元方程组的讨论,你肯定会想到,如何通过消元,来逐步降低方程中的变量个数。当然这个计算量是很大的。 我们只关心如何判断有没有解的问题。


希尔伯特给出了如下著名的定理--称为希尔伯特零点定理:

上述方程组不存在解的充分必要条件是:你可以找到一些多项式 a1,...,ar, 使得

a1f1+a2f2+...+arfr=1.


 

这个定理看上去好像不具有可操作性,即无法实际判断那样的 ai 是否存在。其实不然,因为有研究发现,可以让那些 ai 的次数控制在一个具体的范围之内。这样,你只要用待定系数法,就能判断它们是否存在了--这个工作显然可以交给计算机去执行。


希尔伯特定理可以说是代数几何最基本的定理之一。它的一个特殊情形,其实

早在大学时代所学的高等代数出现过了:那就是线性方程组是否有解的判定条件。

 



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